Методы решения некорректно поставленных задач

ua (x,T)= y(x);

ua (x,t) = 0 для x S, 0< t<= Т

Dua=0 для x S, 0< t<= Т.

Затем полагают

j (x)=ua(x,0).

Следует отметить, что uaне сходится в обычном смысле при a 0.

3.МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ

В главе предыдущем разделе рассмотрены случаи, когда класс возможных решений уравнения (2; 0,1) является компактом. Однако для ряда прикладных задач характерна ситуация, когда этот класс F не является компактом, и, кроме того, изменения правой части уравнения

Аz= u, (3; 0,1)

связанные с ее приближенным характером, могут выводить за пределы множества AF образа множества F при отображении его с помощью оператора А. Такие задачи называются существенно некорректными. Был разработан новый подход к решению некорректно поставленных задач, позволяющий строить приближенные решения уравнения (3; 0,1), устойчивые к малым изменениям исходных данных, для существенно некорректных задач. В основе этого подхода лежит фундаментальное понятие регуляризирующего оператора (P.O.) . Для упрощения изложения в настоящей главе мы будем полагать, что в уравнении (3; 0,1) приближенной может быть лишь правая часть и, а оператор А известен точно.

3.1. Понятие регуляризирующего оператора

3.1.1. Пусть оператор А в уравнении (3; 0,1) таков, что обратный ему оператор

A-1 не является непрерывным на множестве AF и множество возможных решений F не является компактом.

Пусть zT есть решение уравнения Az =uT, т. е. AzT=uT. Часто вместо uT мы имеем некоторый элемент ud и известное число d > 0 такие, что rU(ud,uT)<= d, т. е. вместо точных исходных данных (uT,А) мы имеем приближенные исходные данные (ud, А) и оценку их погрешности d. Задача состоит в том, чтобы по известным исходным данным (ud, A, d) найти приближение zd к элементу zt, обладающее свойством устойчивости к малым изменениям ud. Очевидно, что в качестве приближенного решения zd уравнения (3; 0,1) нельзя брать точное решение этого уравнения с приближенной правой частью и= ud, т. е. элемент zT, определяемый по формуле

zd=A-1 ud

так как оно существует не для всякого элемента u U и не обладает свойством устойчивости к малым изменениям правой части и.

Числовой параметр d характеризует погрешность правой части уравнения (3;0,1). Поэтому представляется естественным определить zd с помощью оператора, зависящего от параметра, значения которого надо брать согласованными с погрешностью d исходных данных ud . Эта согласованность должна быть такой, чтобы при d0, т. е. при приближении (в метрике пространства U) правой части ud уравнения (3; 0,1) к точному значению uT, приближенное решение zd стремилось бы (в метрике пространства F) к искомому точному решению zt уравнения AzT =uT.

Пусть элементы zT F и uT U связаны соотношением AzT = uT.

Определение 1. Оператор R(и, d), действующий из пространства U в пространство F, называется регуля-ризирующим для уравнения Az = и (относительно элемента uT), если он обладает свойствами:

1) существует такое число d1 > 0, что оператор R(u, d) определен для всякого d, 0<=d<=d1, и любого udU такого, что

rU(ud,uT)<= d;

2) для всякого e > 0 существует d0=d0(e, ud)<=d1 такое, что из неравенства

rU(ud,uT)<= d<= d0;

следует неравенство

rF(zd,zT)<= e,

где

zd=R(ud,d).

Здесь не предполагается, вообще говоря, однозначность оператора R(u,d). Через zd обозначается произвольный элемент из множества {R(ud,d)} значений оператора R(ud,d).

3.1.2. В ряде случаев целесообразнее пользоваться другим определением регуляризирующего оператора (P.O.).

Определение 2. Оператор R(u, a), зависящий от параметра a и действующий из U в F, называется регуляризирующим для уравнения Az=и (относительно элемента uT), если он обладает свойствами:

1) существуют такие числа d1>0, a1>0, что оператор R(u, a ) определен для всякого a, принадлежащего промежутку (0, a1), и любого uU, для которого

rU(u,uT)<=d1;

2) существует такой функционал a=a(u, d), определенный на множестве Ud1{u; r(u,uT) 0 найдется число d(e)<=d1 такое, что если u1U и rU(u1,uT)<= d<= d(e), то

rF(za,zT)<= e , где

za=R(u1, a(u1,d)).

В этом определении не предполагается однозначность оператора R(u1, a(u1,d)). Следует отметить, что при a= d получаем определение 1 .

3.1.3. Если rU(ud,uT)<= d, то известно, что в качестве приближенного решения уравнения (3; 0,1) с приближенно известной правой частью ud можно брать элемент za=R(d, a), полученный с помощью регуляризирующего оператора R(u, a ), где a=a(ud)=a1(d) согласовано с погрешностью исходных данных ud. Это решение называется регуляризованным решением уравнения (3; 0,1). Числовой параметр a называется параметром регуляризации. Очевидно, что всякий регуляризирующий оператор вместе с выбором параметра регуляризации a, согласованного с погрешностью исходных данных ud , a=a(ud), определяет устойчивый к малым изменениям правой части и метод построения приближенных решений уравнения (3;0,1). Если известно, что rU(ud,uT)<= d, то согласно определению регуляризирующего оператора можно так выбрать значение парамет

• Назад
• 1
• 2
• 3
• 4
• 5
• 6
• 7
• 8
• 9
• 10
• 11
• 12
• Далее