Метод Гольдфарба
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Федеральное агентство по образованию
Московский государственный открытый университет
Чебоксарский политехнический институт
Кафедра
Управления и информатики в технических системах
Специальность 220201
Контрольная работа
по ТАУ
по теме
Метод Гольдфарба
2010 год
Задание на контрольную работу
Используя соотношение , вычислить параметры периодических решений в нелинейной САР (если они имеются) и определить их устойчивость.
№ варФамилия, имя, отчествоПараметры Тип F(x)Параметры F(x)41.Цветкова Наталья Вениаминовнаk=90; Т0=0.2 с.IIIс =20;
m = 0.25;
b= 2.
В качестве нелинейного элемента y = F(x) задан III тип - релейная характеристика с гистерезисной петлей.
Решение
система периодическое регулирование гольдфарб
Исследование системы проведем по методу гармонического баланса (метод Гольдфарба). Этот метод позволяет только определить наличие или отсутствие незатухающих колебаний в системе, т. е. в конечном итоге устойчивость системы.
Характеристическое уравнение для нелинейной САР замкнутой системы имеет вид:
(1)
Для графического решения характеристического уравнения его преобразуют к виду:
или (2)
Если на одном и том же чертеже и в одинаковых масштабах построить годографы и , то их пересечение будет означать наличие автоколебаний; при этом частоту автоколебаний можно получить из годографа , амплитуду - из годографа . Удобно проводить проверку системы на наличие автоколебаний в следующем порядке:
. Строим годограф (годограф Найквиста).
. Строим годограф функции . Передаточная функция может быть представлена в виде
, (3)
где функции и , называемые коэффициентами гармонической линеаризации, имеют следующий вид для нелинейного элемента:
(4)
Подставив и в (3) окончательно получим:
(5)
Получим уравнение для построения АФЧХ линейной части САР в разомкнутом состоянии:
(6)
Сделаем замену
(7)
Умножив числитель и знаменатель выражения (7) на комплексное число, сопряженное знаменателю, и отделяя вещественную и мнимую части, получим уравнения вещественной и мнимой частотных характеристик:
(8)
Задаваясь значениями w от 0 до ? вычислим и (см. табл. 1.).
Таблица 1.
w00,514,551090,00090,67892,74429,8290,000-27,0000,000-4,580-9,661-182,628-180,000-0,046w501002003001000?-0,907-0,225-0,056-0,025-0,0020-0,006-0,0010000
Согласно (3), запишем выражение обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком:
Функция представляется в виде:
(9)
Подставив в (9) выражения для и и преобразовав получим:
Для заданных численных значений b и с составим таблицу 2. значений и при изменении а от 0 до ?.
b = 2, с = 20? (по условию)
Таблица 2.
а2510501000,000-0,057-0,122-0,624-1,250-0,025-0,025-0,025-0,025-0,025а5001000500010000?-6,250-12,500-62,500-125,000-?-0,025-0,025-0,025-0,025-0,025
Рис.1.
Для оценки возможности автоколебаний в системе и их устойчивости строим с помощью пакета Maple 7 графики амплитудно-фазовой частотной характеристики линейной части системы и обратной амплитудно-фазовой характеристики нелинейного элемента, взятой с обратным знаком, в координатах Р и Q (рис.1.).
Рассмотрим график возле нуля, для этого изменим масштаб, как показано на рис. 2.
Рис. 2.
Рассмотрим взаимное положение годографов и :
. Если годографы не пересекаются, то в системе возникновение колебаний невозможно.
. Если годографы пересекаются в одной точке, то в системе возможны незатухающие колебания. Параметры автоколебаний w0 и а0 определяются точкой пересечения годографов: w0 по и а0 по .
. Если годографы пересекаются в двух точках, то это свидетельствует о наличие двух режимов автоколебаний: с большей и меньшей амплитудой. Режим с большей амплитудой соответствует предельному циклу устойчивых колебаний, режим с меньшей амплитудой существовать не может и потому называется неустойчивым.
Из нашего графика мы видим, что годографы пересекаются в одной точке, т.е. в системе возможны незатухающие колебания. С помощью пакета Maple 7 вычислим параметры периодических решений в нелинейной САР.
По методу Гольдфарба, если двигаться по линии в направлении возрастания амплитуды а, то точке выхода из контура, т.е. точке пересечения годографов, соответствует устойчивое периодическое решение.
Использованная литература
1. Воронов А.А. и др. Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. пособие для вузов. М., Высшая школа, 1977
. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. Изд. 4-е, перераб. и доп. - СПб, Изд-во Профессия, 2003
. Федоренко А.А., Иванчура В.И. Теория автоматического управления: учеб. пособие. Красноярск: ИПЦ КГТУ, 2004