Geum.ru

Метод Гаусса для решения систем линейных уравнений

Контрольная работа - Математика и статистика

Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика

?а 2 строка 3);

  • к первой строке прибавим третью строку (строка 1 + строка 3). Получим:

    • 1 -2 0 0 | 0

    0 1 0 0 | -1

    0 0 1 0 | 1

    0 0 0 1 | 2

    1. К первой строке прибавим вторую строку, умноженную на 2 (строка 1 + 2 строка 2). Получим:

    1 0 0 0 | -2

    0 1 0 0 | -1

    0 0 1 0 | 1

    0 0 0 1 | 2

    В левой части матрицы по главной диагонали остались одни единицы. В правом столбце получаем решение:

    х1 = -2

    х2 = -1

    х3 = 1

    х4 = 2

     

    1. Преимущества и недостатки метода Гаусса

     

    Итак, метод Гаусса применим к любой системе линейных уравнений, он идеально подходит для решения систем, содержащих больше трех линейных уравнений. Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах.

    Достоинства метода:

    1. менее трудоёмкий по сравнению с другими методами;
    2. позволяет однозначно установить, совместна система или нет, и если совместна, найти её решение;
    3. позволяет найти максимальное число линейно независимых уравнений ранг матрицы системы.

    Существенным недостатком этого метода является невозможность сформулировать условия совместности и определенности системы в зависимости от значений коэффициентов и свободных членов. С другой стороны, даже в случае определенной системы этот метод не позволяет найти общие формулы, выражающие решение системы через ее коэффициенты и свободные члены, которые необходимо иметь при теоретических исследованиях.

    Помимо аналитического решения СЛАУ, метод Гаусса также применяется для:

    1. нахождения матрицы, обратной к данной (к матрице справа приписывается единичная такого же размера, что и исходная:

      , после чего приводится к виду единичной матрицы методом ГауссаЖордана; в результате на месте изначальной единичной матрицы справа оказывается обратная к исходной матрица: );

    2. определения ранга матрицы (согласно следствию из теоремы КронекераКапелли ранг матрицы равен числу её главных переменных);
    3. численного решения СЛАУ в вычислительной технике (ввиду погрешности вычислений используется Метод Гаусса с выделением главного элемента, суть которого заключена в том, чтобы на каждом шаге в качестве главной переменной выбирать ту, при которой среди оставшихся после вычёркивания очередных строк и столбцов стоит максимальный по модулю коэффициент).

      4. Существуют и другие методы решения и исследования систем линейных уравнений, которые лишены отмеченных недостатков. Эти методы основаны на теории матриц и определителей.

     

     

    Список источников

     

    1. КремерН.Ш., ПуткоБ.А.Высшая математика для экономистов. - М.: Учеб. пособие, 1998.
    2. КурошА.Г.Курс высшей алгебры. - М.: Учеб. пособие, 1968.
    3. Справочник по математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова// Инфра-М, Москва 2009.