Алгебраические кривые и диофантовы уравнения
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
µр, для кривой, задаваемой уравнением x + y = 0), не принимаются во внимание. назад к тексту
3.
Происхождение этого названия имеет долгую историю. Уже в XVII в. при вычислении длин дуг эллипсов и других кривых математики столкнулись с интегралами вида
g dx
f (x)0 где f (x) многочлен степени не выше 4. Исследование этих эллиптических интегралов начал Эйлер. Абель и независимо от него Якоби рассмотрели обратные функции для этих интегралов. Следуя Якоби, их стали называть эллиптическими функциями. Выяснилось, что это двоякопериодические мероморфные функции, удовлетворяющие дифференциальному уравнению вида
X f (X) = 0.
Исходя из этого уравнения, можно показать, что эллиптические функции это в точности функции, мероморфные на эллиптических кривых (понимаемых как компактные римановы поверхности). назад к тексту
4.
Видоизменив метод Грюнвальда и Циммерта, К.Наката нашёл недавно пример кривой ранга 9 (К.Nakata, Manuscripta Math. 29 (1979)). назад к тексту
Литература
(Превосходные библиографии имеются в [4] и [17]. По проблеме Ферма полезно сравнить [5] и [15].)
Список литературы
И.Г.Башмакова, Диофант и диофантовы уравнения. М: Наука, 1972. назад к тексту
K.L.Biernatzki, Die Arithmetik der Chinesen, J. reine angew. Math. 52 (1856). назад к тексту
В.J.Birch, H.P.F.Swinnerton-Dyer, Notes on elliрtic curves. II, J. reine angew. Math. 218 (1965). назад к тексту
W.S.Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic, J. London Math. Soc. 41 (1966). назад к тексту
H.M.Edwards, Fermats Last Theorem, Springer Graduate Texts in Mathematics, vol.50, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1977. [Имеется перевод: Г.Эдвардс. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М.: Мир, 1980.] назад к тексту
F.J.Grunewald, R.Zimmert, ber einige rationale elliptische Kurven mit freiem Rang 8, J. reine angew. Math. 296 (1977). назад к тексту
E.Lutz, Sur lequation y = x Ax B dans les corps p-adiques, J. Math. 177 (1937). назад к тексту
B.Mazur, Modular curves and the Eisenstein ideal, Publ. Math. IHES 47 (1977). назад к тексту
L.I.Mordell, On the rational solutions of the indeterminant equations of the third and fourth degrees, Proc. Cambridge Phil Soc. 21 (1922). назад к тексту
T.Nagell, Solution de quelques problmes dans la thorie arithmtique des cubiques planes du premier genre, Vid. Akad. Skrifter Oslo 1 (1935), No. 1. назад к тексту
A.Neron, Problmes arithmtiques et gomtriques rattachs la notion de rang dune courbe algbriques dans un corps, Bull. Soc. Math. France 80 (1952). назад к тексту
A.P.Ogg, Diophantine equations and modular forms, Bull. Amer. Math. Soc. 81 (1975). назад к тексту
D.E.Penney, C.Pomerance, Three elliptic curves with rank at least seven, Math. Comp. 29 (1975). назад к тексту
H.Poincar, Sur les proprits arithmtiques des courbes algbriques, J. de Math. Pures et Appl., ser. 5, 7 (1901). назад к тексту
P.Ribenboim, 13 Lectures on Fermats Last Theorem, Springer-Verlag, New York Heidelberg Berlin, 1979. назад к тексту
C.L.Siegel, ber einige Anwendungen Diophantischer Approximationen, Abh. Preuss. Akad. Wiss. Phys.-Math. Kl. 1 (1929). назад к тексту
J.T.Tate, The arithmetic of elliptic curves, Invent. Math. 23 (1974). назад к тексту
J.T.Tate, Rational Points on Elliptic Curves, Philips Lectures, Haverford College, 1961. назад к тексту
R.Wachendorf, ber den Rang der elliptischen Kurve y = x px, Diplomarbeit, Bonn, 1974. назад к тексту
A.Wiman, ber rationale Punkte auf Kurven dritter Ordnung vom Geschlecht Eins, Acta Math. 80 (1948). назад к тексту
Сведения по истории математики наряду с [1], [4], [5], [15], [17] можно найти в работах:
M.Cantor, Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik, 4 Bnde, Leipzig, 19001908.
L.E.Dickson, History of the theory of numbers, Carnegie Institution, Washington, 1919, 1920, 1923.
D.I.Struik, Abriss der Geschichte der Mathematik, Vieweg, Braunschweig, 1976. [Имеется перевод: Д.Я.Стройк. Краткий очерк истории математики. М., Наука, 1978.]
B.L.van der Waerden, Die Pythagoreer, Artemis Verlag, 1979. [См. также: Б.Л.ван дер Варден. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959. Перев.]
Encyclopedic Dictionary of Mathematics, ed. by Math. Soc. Japan, MIT Press, Cambridge Mass. and London.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта