Математические основы теории систем
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
сигналов наиболее употребительны два способа, которые имеют определенные преимущества: способ изображения в виде структурной схемы и изображение в виде графа прохождения сигнала. При изображении схемы прохождения сигналов в виде структурной схемы звенья показываются в виде блоков, а стрелками указываются направления прохождения сигналов. Структурная схема представляет собой схематическое (качественное) изображение передаточных звеньев системы и ее связей через входные и выходные сигналы. Качественное описание характеристики звена с выходными сигналами U1,...,Um должна пониматься характеристика передачи в установившемся режиме, которая описывается статическим передаточным уравнением:
- xg=x(?)=lim x(t)=f(U1,...,U v)
t>?
в случае если существует х (?).
Под динамическими характеристиками понимается зависимость выхода системы от ее входа в переходном процессе. Динамическая характеристика системы или звена может, быть описана различными способами.
Для аналоговых звеньев, входные и выходные характеристики которых изменяются непрерывно, характеристика передачи может быть, описана следующим дифференциальным уравнением в скалярной форме (после деления всех членов на коэффициент х”)
(2)xn +An-1 xn-1+...+A1 x+A0 x=Bm Um+...+B0 U
где U(t)-входной сигнал, x(t) выходной сигнал.
x=q1, x=q2, xn-1=qn получим уравнения системы для случая одномерного пространства:
(3)q(t)=Aq(t)+Bu(t)x(t)=cTq(t)+du(t)
CКАЧКООБРАЗНАЯ И ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИИ.
Передаточные свойства линейного звена характеризуются реакцией на скачкообразное изменение входного сигнала:
us(t)=uо?(t)= 0, при t<0
u0, при t?0
здесь ?(t) является единичной скачкообразной функцией:
?(t)? 0, при t<0
1, при t?0
Значение скачкообразной функции основывается на том, что единичный входной сигнал u(t) может быть разложен на последовательность сдвинутых по времени скачкообразных функций с разными амплитудами.
u(t)
рис 1.
t
Благодаря применяемому для линейных систем методу суперпозиций соответствующий выходной сигнал можно получить путем наложения друг на друга реакций системы на отдельные скачкообразные функции. Реакция на единичное воздействие, хs(t) линейного звена:
xs(t)?q us(t)=q U0?(t) (4)
Переходная функция h(t) линейного звена:
(5)h(t)?xs(t)/U0=q(t)
Переходная функция линейного звена представляет собой его реакцию на единичное воздействие, отнесенную к амплитуде скачка вх. сигнала.
ИМПУЛЬСНАЯ И ВЕСОВАЯ ФУНКЦИИ.
Аналогично скачкообразной функции и реакции на единичное воздействие импульсная функция и соответствующая реакция на импульсное воздействие могут служить для характеристики передаточных свойств линейных звеньев. Этот метод заключается в том, что входной сигнал u(t) может быть представлен в виде последовательных импульсов функций рис 2
1/u u>0
u u
рис 2рис 3
Разложение сигнала в последовательность импульсных эвристическая интерпретация функций
Для хорошей аппроксимации, ширина u приведенных на рис. 2, 3 функций, должна быть ничтожно мала. Реакция на импульсное воздействие х(t) линейного звена:
- x^(t)?q*u^(t)=q*A*?(t)
(* -обозначается свертка функции u(t) и q(t) с помощью интеграла свертки); ?(t)-импульсная функция; А - площадь импульса u^(t). Весовая функция q(t) линейного звена:
q(t)? x^(t)/A=q*?(t)
Весовая функция q(t) линейного звена представляет его реакцию на импульсное воздействие, отнесенную к интегралу от входного сигнала, взятому по времени.
В соответствии с общим значением импульсного сигнала (рис 3) следует, что весовая функция является свойством передаточного звена, которое определяет его особенности при передаче сигнала. Схема прохождения сигнала: изображение в виде графа прохождения сигнала.
Граф представляет собой схему, состоящую из узлов и ветвей, соединяющих узлы. Граф прохождения сигналов, представляет собой граф с направленными ветвями.
x(t)=cu(t) узел x(p)=G(p)U(p)
x(t)=f{u(t)}
рис 4
При изображении схемы прохождения сигналов в виде графа, сигналы условно изображаются узлами, а звенья ветвями с указанием направления передачи. При этом принимается, что изображению временной функции (рис 4а) соответствует выражение:
x(t)=Cu(t) или x(t)=F{u(t)}
С - постоянная,F оператор, являющийся функцией времени.
ДЕТЕТМЕНИРОВАННЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ СИГНАЛЫ И СИСТЕМЫ. u u u
а) t б) t в) t
u
а-в детерминированные сигналы
г - стохастический сигнал
Рис. 5
г) t
Характеристика сигналов, представленных на рис 5, а в, очевидно, что может быть однозначно описана аналитической функцией для всех t, если характер этой