Математика

Методическое пособие - Математика и статистика

/p>

Получили известные формулы двойного угла.

) Извлечение корня из комплексного числа.

Возводя в степень, получим:

Отсюда:

Таким образом, корень n - ой степени из комплексного числа имеет n различных значений.

5.3 Показательная форма комплексного числа

Рассмотрим показательную функцию

Можно показать, что функция w может быть записана в виде:

Данное равенство называется уравнением Эйлера. Вывод этого уравнения будет рассмотрен позднее. (См. ).

Для комплексных чисел будут справедливы следующие свойства:

)

) где m - целое число.

Если в уравнении Эйлера показатель степени принять за чисто мнимое число (х=0), то получаем:

Для комплексно - сопряженного числа получаем:

Из этих двух уравнений получаем:

Этими формулами пользуются для нахождения значений степеней тригонометрических функций через функции кратных углов.

Если представить комплексное число в тригонометрической форме:

и воспользуемся формулой Эйлера:

Полученное равенство и есть показательная форма комплексного числа.