Магические квадраты
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?ысла учёные стали анализировать их математически. В сочинении немецкого математика Штифеля Полная арифметика, вышедшем в 1544 г., указывается, что некоторые магические квадраты обладают чудесными и дополнительными свойствами, а именно, у них может быть выведена срединная часть, которая также является магическим квадратом. Если взять срединную его часть (кроме рамки шириной в одну клетку), то снова получим магический квадрат. В частности, он построил магический квадрат 72 - квадрат, срединная часть которого есть магический 52 - квадрат, заполненный натуральными числами от 13 до 37. Если взять срединную его часть, то получим магический 32 - квадрат, заполненный натуральными числами от 21 до 29 (рис. 3).
40123424146383113143235123930262128201143332725231776162229243444515373618194544948478910Рис. 3 (талисман Венеры)
Это был первый случай анализа математической формы магических квадратов. На этом исследования не завершились и о математических квадратах ещё писали такие математики, как Баше де Мезириак (1581 - 1683 гг.), Блез Паскаль (1623 - 1662 гг.), Пьер Ферма (1601 - 1665 гг.), Френикль де Бесси (!602 - 1675 гг.), Антуан Арно (1662 - 1694 гг.). В частности, де Бесси дал общий метод построения магических квадратов и проделал огромную работу по составлению всех 880 вариантов магических квадратов четвёртого порядка.
Начиная с Пьера Ферма, Френикля де Бесси и их современников, сочинения о магических квадратах теряют не только свой мистический характер, но и развлекательный. Теория магических квадратов развивается одновременно с развитием общей теории чисел и становится её ответвлением. Ею занимается выдающийся математик, механик и физик, один из основоположников гидродинамики Леонард Эйлер (1701 - 1783 гг.). С помощью магических квадратов большого порядка он пытался построить единую картину мира и физических процессов, основывая свои рассуждения на том, что в мире должен существовать совершенный баланс сил, который можно заключить в математическую таблицу. Король математики Карл Гаусс (1777 - 1855 гг.) и многие другие известные учёные также не раз прибегали к помощи магических квадратов, при сведении в единую таблицу данных, имеющих между собой строгую циклическую взаимосвязь. Их поиски позволили не только дополнить известные из теории чисел общие свойства квадратов, но и найти неизвестные до сих пор типы квадратов.
В настоящее время теория магических квадратов несколько видоизменилась, приняла сугубо прикладной характер и теперь представляет собой уже приём занимательности. Магические квадраты и их модификации используются как метод решения заданий, облекая их в занимательную форму. Эта форма может представлять собой необычные чертежи или увлекательные схемы. Такие приёмы особенно распространены при работе с учащимися средней ступени для закрепления навыков оперирования простыми числами, дробями, степенями, корнями и т.д. Эти таблицы стали основами многих заданий, развивающих логику.
В этом направлении магические квадраты преображаются в несколько другой тип квадратов. Как правило, это квадраты с n=3, каждая клетка которого представляет собой элемент (число, многочлен), а сумма или произведение элементов по вертикальным, горизонтальным столбцам и диагоналям удовлетворяют некоторому единому условию. Рассмотрим несколько примеров таких заданий:
- Нам даны одночлены х, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8 и х9. Расположить их в клетках квадрата (n=3) так, чтобы их произведение по вертикали, горизонтали и диагонали равнялось х15.
Решение такого задания сводится к построению магического квадрата из чисел от 1 до 9. Нужно только помнить, что при умножении показатели степеней складываются.
- В пустые клетки квадрата вписать такие числа, чтобы их сумма по вертикали и горизонтали равнялась 100.
23413419
- В свободных клетках квадрата расположить дроби со знаменателем 11 и числителями от 1 до 9 так, чтобы их сумма по горизонтали, вертикали и диагонали равнялась 15/11.
4/112/118/11
Решение аналогично примеру 1. Знаменатель здесь не играет никакой роли, поэтому необходимо только построить квадрат из чисел от 1 до 9 (числители) согласно данного условия.
Подобные задания рассчитаны на учеников 5-6 классов, т.к. не содержат сложных вычислений и уже снабжены подсказками, без которых задание всё же решаемо.
Приложение
11247203412258161751321910181142223619215Рис. 4 (талисман Марса); магическое число 65.
377829702162135456387930712263144647739803172235515164884081326424565717499417333652526581850142743466672759105124375353668196011523447677286920611253445Рис. 5 (талисман Луны); магическое число 369
632334351711272883019141615232418202221171325291092612362334531Рис. 6 (талисман Солнца); магическое число 111
85859546263149151452531110564123224445191848323435292838392540262737363031331747462021434224955541213515016642361606757Рис. 7 (талисман Меркурия); магическое число 260.
Следует отметить, что диагонали, идущие слева сверху вниз вправо, часто состоят из правильной последовательности чисел (см. рис. 1, 4, 5).
На рис. 5 два центральных столбца состоят из чисел, оканчивающихся нулями и единицами. В дальнейших столбцах всё ещё сохраняется подобная закономерность, но уже с некоторыми сбоями.
На рис. 6 в каждой строке есть по паре последовательных рядом стоящих чисел. На рис. 7 таких пар в каждой строке три.
Список использованной литературы
- Папюсъ. Практическая магiя. - С.-Петербург, 1912. - 736 с.
- Шуба М.Ю.. Занимательные задания в обучении математике. - Москва: Просвещение, 1996. - 182 с.
- Число и мистика. - Москва: Просвещение, 1968. - 208 с.