Лінейна балансова модель і її використання в економічних розрахунках
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
? в табл. 2 в кутах відповідних кліток.
Тепер може бути записана балансова модель (6), відповідна даним табл. 2
х1 0.2х1 0.4х2 = у1
х2 0.55х1 0.1х2 = у2
Ця система двох рівнянь може бути використана для визначення х1 і х2 при заданих значеннях у1 і у2, для використання впливу на валовий випуск будь-яких змін в асортименті кінцевого продукту і так далі
Так, наприклад, задавшись у1=240 і у2=85, отримаємо х1=500 і х2=400, задавшись у1=480 і у2=170, отримаємо х1=1000 і х2=800 і так далі
Вирішення балансових рівнянь за допомогою зворотної матриці. Коефіцієнти повних витрат
Повернемося знову до розгляду балансового рівняння (6).
Перше питання, яке виникає при його дослідження, це питання об існування при заданому векторі У>0 ненегативного вирішення х>0, тобто про існування вектор-плану, що забезпечує даний асортимент кінцевого продукту У.Будем називати таке вирішення рівняння (6) допустимим рішенням.
Відмітимо, що при будь-якій ненегативній матриці А затверджувати існування ненегативного рішення не можна.
Так, наприклад, якщо
0.9 0.8 0.1 -0.8 і рівняння (6)
А=, то Е А =
0.6 0.9 -0.6 0.1
запишеться у вигляді 0.1 -0.8 х1 у1 або в розгорненій формі
-0.6 0.1 х2 у2
0.1х1 0.8х2 = у1 ()
-0.6х1 + 0.1х2 = у2
Склавши ці два рівняння почленно, отримаємо рівняння
-0.5х1 0.7х2 = у1 + у2
яке не може задовольнятися ненегативним значенням х1 і х2, якщо тільки у1>0 і у2>0 (окрім х1=х2=0 при у1=у2=0).
Нарешті рівняння взагалі може не мати рішень (система (6) несумісна) або мати незліченну безліч рішень (система (6) невизначена).
Наступна теорема, доказ якої ми опускаємо, дає відповідь на поставлене питання.
Теорема. Якщо існує хоч один ненегативний вектор х>0, що задовольняє нерівності (Е А)х>0, тобто якщо рівняння (6) має ненегативне вирішення x>0, хоч би для одного У>0, то воно має для будь-якого У>0 єдине ненегативне рішення.
При цьому виявляється, що зворотна матриця (Е А) буде обовязково ненегативною.
Із способу утворення матриці витрат виходить, що для попереднього періоду виконується рівність (Е А)х = У, де вектор-план х і асортиментний вектор У визначаються по виконаному балансу за минулий період, при цьому У>0. Таким чином, рівняння (6) має одне ненегативне вирішення x>0. На підставі теореми укладаємо, що рівняння (6) завжди має допустимий план і матриця (Е А) має зворотну матрицю.
Позначивши зворотну матрицю (Е А)-1 через S = || sik+ ||, запишемо вирішення рівняння (6) у вигляді
_ _
х = SУ (7)
Якщо буде заданий вектор кінцевий продукт У і обчислена матриця S = (E A)-1, то по цій формулі може бути визначений вектор-план х.
Рішення (7) можна представити в розгорненій формі:
x1 = S11y1 + S12y2 +. + S1nyn
x2 = S21y1 + S22y2 +. + S2nyn (8)
…………
xn = Sn1y1 + Sn2y2 +. + Snnyn
Повні внутрішньовиробничі витрати
Зясуємо економічний сенс елементів Sik матриці S.
Хай проводиться тільки одиниця кінцевого продукту 1-ої галузі, тобто
1
_ 0
У1 =
0
Підставляючи цей вектор в рівність (7), отримаємо
1 S11
_ 0 S21 _
х = S: =: = S1
0 Sn1 0
_ 1
задавшись асортиментним вектором У2 = 0, отримаємо
:
0
0 S12
_ 1 S22 _
х = S: =: = S2
0 Sn2
Аналогічно, валовий випуск х, необхідний для виробництва одиниці кінцевого продукту к-й галузі, складе
0 S1k
_: S2k _
х = S 1 =: = Sk (9)
: Snk
0
тобто к-й стовпець матриці S.
З рівності (9) витікає наступне:
Щоб випустити тільки одиницю кінцевого продукту к-й галузі, необхідно в 1-ій галузі випустити х1=S1k, в 2-ій х2=S2k і так далі, в i-й галузі випустити xi=Sik і, нарешті, в n-й галузі випустити xn=Snk одиниць продукції.
Так при цьому виді кінцевого продукту виробництва тільки одиниця к-го продукту, то величини S1k, S2k., Sik., Snk, є коефіцієнти повних витрат продукції 1-й, 2-й і так далі, n-й галузей вказаної одиниці к-го продукту, що йде на виготовлення. Ми вже ввели раннє коефіцієнти прямих витрат a1k, a2k., aik., ank на одиницю продукції к-й галузі, які враховували лише ту частину продукції кожної галузі, яка споживається безпосередньо к-й галуззю. Але, очевидно, необхідно забезпечити замкнутий виробничий цикл. Якби продукція i-й галузі поступала б тільки в к-ю галузь в кількості aik, те виробництво к-й галузі все одно не було б забезпечено, бо було потрібно ще продукти 1-ої галузі (a1k), 2-ій галузі (a2k) і так далі А вони у свою чергу не зможуть працювати, якщо не отримуватимуть продукцію тієї ж i-й галузі (ai1, ai2. і так далі). Проілюструємо сказане на прикладі табл. 2
Хай нас не цікавить випуск для зовнішнього споживання продукції 2-ої галузі (k=2) і ми хочемо визначити витрати продукції 1-ої галузі на одиницю цієї продукції. З табл. 2 знаходимо, що на кожну одиницю продукції 2-ої галузі (х2=1) витрачається: продукції 1-ої галузі a12=0.4 і 2-ій галузі a22=0.1.
Такі будуть прямі витрати. Хай потрібно виготовити у2=100. Чи можна для цього планувати випуск 1-ої галузі х1=0.4100=40? Звичайно, не можна, оскільки необхідно враховувати, що 1-а галузь частина своєї продукції споживає сама (а11=0.2), і тому сумарний її випуск слід скоректувати: х1=40+0.240=48. Проте і ця цифра невірна, оскільки тепер уже слід виходити з нового обєму продукції 1-ої галузі х1=48 і так далі Але справа не тільки в цьому. Згідно табл. 2 продукція 2-ої галузі також необхідна для виробництва і 1-ої і 2-ої галузей і тому потрібно буде випускати більш?/p>