Лекции (1-18) по мат. анализу 1 семестр
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
ость
n бесконечно малая последовательность ann бесконечно малая последовательность.
Доказательство: Так как аn ограниченная С>0: nN anC
Зададим ?1>0; положим ?=?1/C; так как n бесконечно малая, то ?>0 N:n>N n<? ann=ann<C?=C?1/C=?1
?1>0 N: n>N ann=C?=?1 lim ann=0 ann бесконечно малое
n
Замечание: в качестве ограниченной последовательности можно рассматривать const произведение постоянно.
Теорема о представление последовательности имеющий конечный предел.
lim an=a an=a+n
n+
Последовательность an имеет конечный предел а тогда и только тогда, когда она представлена в виде an=a+n
где n бесконечно малая.
Доказательство:
lim an ?>0 N:n>N an-aN, то есть n - бесконечно малая
n+
an=a+n что и требовалось доказать
Доказательство (обратное): пусть an=a+n, n бесконечно малая, то есть n=an-a ?>0 N: n>N
n=an-a<?, то есть lim an-а
n+
Теоремы о пределах числовых последовательностей.
- Теорема о пределе суммы:
Пусть lim an=a lim bn=b lim an+n=a+b
n+ n+ n+
Докозательство: an=a+n bn=b+n Сложим an+bn=a+b+n+n=a+b+n lim an+bn=a+b
n+
2) Теорема о произведение пределов:
Пусть lim an=a lim bn=b lim anbn=ab
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n anbn=(a+n)(b+n) anbn=ab+an+bn+nn=ab+n lim anbn=ab что и
n+
требовалось доказать.
- Теорема о пределе частного
Пусть lim an=a lim bn=b b0 lim an/bn=a/b
n+ n+ n+
Доказательство: an=a+n bn=b+n так как b0, то N1: n>N1bn0
bn
0 (////////b/////////) x
an/bn=an/bn-a/b+a/b=a/b+(ban-abn)/bbn=a/b+[b(a+n)-a(b+n)]/b(b+n)=a/b+n/b(1+bn/b)
lim an/bn=a/b
n+
Лекция №4
Ведущая: Голубева Зоя Николаевна
Дата: понедельник, 19 сентября 2000 г.
Тема: Бесконечно большие последовательности .
аn=(-1)n не имеет предел.
{bn}={1,1…}
{an}={-1;1;-1;1…} предел не существует.
Бесконечно большие последовательности.
an=2n
N:n>N an>?
bn=(-1)n2n
N:n>N bn>?
cn=-2n
N:n>N cn<-?
Определение (бесконечно большие последовательности)
1) lim an=+, если ?>0N:n>N an>? где ?- сколь угодно малое.
n
2)lim an=-, если ?>0 N:n>N an<-?
n+
3) lim an= ?>0 N:n>N an>?
n+
Последовательностью имеющий конечный предел называют сходящимися. В противном случае последовательность называют расходящимися. Среди них есть последовательности, которые расходятся в бесконечность. О них мы говорим, что они имеют бесконечный предел.
Доказательство:
an=2n
Берём ?>0; хотим 2n>?
n>log2?
N=[log2?]+1
Правило формирования обратного утверждения: нужно поменять местами значки и , а знак неравенства на дополнительный.
Пример:
Утверждение lim an=aN an-a<?
n
Обратное утверждение aR ?>0 NN: n>N an-a<?
Всякая бесконечно большая не ограниченная. Обратное утверждение неверно.
bn{2;0;2n;0;23;0….}
Теорема (об ограниченной сходящейся последовательности)
Пусть lim an=a< an - ограниченная
n+
Доказательство:
Дано:
?>0N:n>N an-a<?
Раз ?>0 возьмем ?=1 N:n>N an-a<1
a-1N
Этому неравенству может быть не удовлетворять только первые N члены последовательности.
N1=max{a1;a2;…an;1+a;a-1}
anc, n>N
Теорема (о единстве предела сходящейся последовательности).
Если lim an=a <, то а- единственное.
n+
Доказательство:(от противного)
Предположим, что b: lim an=b и ba ?=b-a/2>0 для определенности пусть b>a N1:n>N1 an-a<?
n+
N2:n>N2 an-b<? N=max{N1;N2}, тогда оба неравенства выполняются одновременно
-(b-a)/2<an-a<(b-a)/2
-(b-a)/2<an-b<(b-a)/2
an-a<(b-a)/2
-
an-b>-(b-a)/2
b-a<b-a
0a неверно. Аналогично доказывается, что b<a, то же неверно ?=(a-b)/2
Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами.
Теорема:
1)an- бесконечно большая 1/an бесконечно малая
2)т бесконечно малая, n0 (n>N0) 1/n бесконечно большая
Доказательство:
1)an- бесконечно большая lim an= для достаточно больших номеров n an0. Зададим любое сколько
n+
угодно малое ?>0, положим ?=1/?>0
Для ? N1:n>N1 an>?, то есть an>1/? N=max{N1;N0}
Тогда n>N 1/an<?, то есть lim 1/an=0, то есть 1/an бесконечно малое
n+
2)n бесконечно малое lim n=0
n+
Дано: n0, n>N0 зададим ?>0 положим ?=1/?>0
N1:n>N1 n<?=1/?
N=max{N0;N1}: n>N 1/n=, то есть 1/n бесконечно большая.
Основные теоремы о существование предела последовательности.
Теорема Вейрштрасса:
Пусть an- ограниченная и моннатонна. Тогда lim an=а<
n+
Лемма. Среднее арифметическое чисел больше среднего геометрического. Равенство достигается только если все числа равны.