Курсовая работа по прикладной математике

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

у1=(31-5у3)/4

8((31-5у3)/4)+3у3=41

-7у3=-21

у1=(31-15)/4

 

откуда следует

у1=4,у3=3

Таким образом, получили двойственные оценки ресурсов

у1=4,у2=0,у3=3

 

Общая оценка всех ресурсов

f=316у1+216у2+199у3

f=1264+0+597=1861

 

 

 

Задача №2.1. Задача о расшивке узких мест производства.

При выполнении оптимальной производственной программы 1-й и 3-й ресурсы используются полностью, образуя узкие места производства. Их необходимо заказать дополнительно.

Пусть Т=(t1, 0, t3) вектор дополнительных объемов ресурсов.

Так как мы предполагаем использовать найденные двойственные оценки ресурсов, то должно выполняться условие

Н+ Q-1Т?0

Необходимо найти вектор

Т=(t1, 0, t3)

максимизирующий суммарный прирост прибыли

w=4t1+3t3

2810/560-1/7 t10

7+-4/71-1/7 0 ? 0

23-6/5602/7 t30

 

Предполагаем, что дополнительно можно получить не более 1/3 первоначального объема ресурса каждого вида

t1 316

0 ? 1/3 216

t3 199

 

где t1?0, t3?0

10/56t1-1/7t3?-28

-4/7t1-1/7t3?-7

-6/56t1+2/7t3?-23

 

-10/56t1+1/7t3?28

4/7t1+1/7t3?7

6/56t1-2/7t3?23

 

t1?316/3,t3?199/3

t1?0,t3?0

 

 

t1t3I-156,80I0196II12,250II049III214,660III0-80,5IV105,330V066,33

Программа расшивки имеет вид

t1=0, t2=0, t3=49

и прирост прибыли составляет

w=4t1+3t3=3•49=147

Сводка результатов приведена в таблице:

Сj31104129bx4+iyiti

aij4087316040325121670056321990349xj2302801861147?j0805

Задача №3. Транспортная задача линейного программирования.

Исходные данные:

31404149

454586

603251

655632

 

Общий объем производства ?аi=45+60+65=170 единиц продукции.

Потребителям требуется ?bi=31+40+41+49=161 единиц продукции.

Так как продукции производится больше на 9 единиц, чем требуется потребителям, то мы имеем открытую модель транспортной задачи. Для превращения ее в закрытую вводим фиктивный пункт потребления с объемом 9 единиц. Для нахождения первого базисного допустимого решения используем правило северо-западного угла.

b1=31b2=40b3=41b4=49b5=9a1=453114*p1=0a2=602634p2=-3a3=657499p3=-5q1=4q2=5q3=8q4=7q5=5

?=9z(x1)=314+145+262+345+73+492+90=535

b1=31b2=40b3=41b4=49b5=9a1=453159p1=0a2=603525*p2=-3a3=6516499p3=-5q1=4q2=5q3=8q4=7q5=5

?=25z(x2)=314+55+352+255+163+492+90=490

b1=31b2=40b3=41b4=49b5=9a1=453159p1=0a2=603525p2=-3a3=654124p3=-2q1=4q2=5q3=5q4=4q5=z(x3)=314+55+352+251+413+242+90=415

Задача №4. Динамическое программирование. Распределение капитальных вложений.

Исходные данные:

xj0100200300400500600700f1(xj)010233038434952f2(xj)013253748556166f3(xj)016303744485049f4(xj)010172329343841

Для решения используем метод северо-восточной диагонали.

-x20100200300400500600700x2010233038434952000102330384349521001313233643515662200252535485563683003737476067754004848587178500555565786006161717006666

0100200300400500600700F2( )013253748607178x2( )0100200300200300400500

-x30100200300400500600700x3013253748607178000132537486071781001616294153647687200303043556778903003737506274854004444576981500484861736005050637004949

0100200300400500600700F3( )016304355677890x3( )0100200200200200200200

 

-x40100200300400500600700x4016304355677890000901001088200178430023784002972500346460038547004141

x4*=x4(700)=0

x3*=x3(700-x4*)=x3(700)=200

x2*=x2(700-x4*-x3*)=x2(700-200)=x2(500)=300

x1*=700-x4*-x3*-x2*=700-0-200-300=200

x1=200

x2=300

x3=200

x4=0

 

Задача №5. Задача формирования оптимального портфеля ценных бумаг.

Исходные данные:

m0m1m21224678

Требуется сформировать оптимальный портфель заданной эффективности из 3-х видов ценных бумаг: безрисковых эффективности 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 6 и рисками 7 и 8. Необходимо узнать, как устроена рисковая часть оптимального портфеля и при какой ожидаемой эффективности портфеля возникает необходимость в операции short sale и с какими ценными бумагами?

4 490

m0=2, М= , V=

6 064

 

Зададимся эффективностью портфеля mp

Найдем обратную матрицу к V

1/490

V-1=

01/64

далее

41

M = I =

61

 

1/4904 2 1/490 2 2/49

V-1(M-m0I)= - = =

01/646 2 01/64 4 1/16

 

2/49

(M-m0I)T V-1(M-m0I)=(2 4) = 65/196

1/16

Рисковые доли:

x1*=(mp-2) 8/65=(mp-2) 0,12

x2*=(mp-2) 49/260=(mp-2) 0,19

 

Безрисковая доля:

x0*=1-(mp-2) 0,31

Найдем значение mp, при котором возникает необходимость в проведении операции short sale:

(mp-2) 0,31=1

mp-2=1/0,31

mp=3,21+2

mp=5,21

Следовательно, если mp>5,21 то x0*<0 и необходимо провести операцию short sale.

Задача №6. Провести анализ доходности и риска финансовых операций.

Даны четыре операции Q1, Q2, Q3, Q4. Найти средние ожидаемые доходы Qi и риски ri операций. Нанести точки (Qi, ri) на плоскость, найти операции, оптимальные по Парето. С помощью взвешивающей формулы найти лучшую и худшую операции.

 

(0, 1/5),(2, 2/5),(10, 1/5),(28, 1/5)

(-6, 1/5),(-5, 2/5),(-1, 1/5),(8, 1/5)

(0, 1/2),(16, 1/8),(32, 1/8),(40, 1/4)

(-6, 1/2),(2, 1/8),(10, 1/8),(14, 1/4)

 

Q10210281/52/51/51/5Q2-6-5-181/52/51/51/5Q301632401/21/81/81/4Q4-6210141/21/81/8

Q1=8,4r1=10,4

Q2=-1,8r2=4,7

Q3=16r3=17,4

Q4=2r4=8,7

 

(Q1)=2 Q1-r1=6,4

(Q2)=2 Q2-r2=-8,3

(Q3)=2 Q3-r3=14,6

(Q4)=2 Q4-r4=-4,7

Лучшей операцией является операция №3, худшей операцией является операция №2.

Оптимальной точки нет, так как нет ни одной точки, не доминируемой никакой другой.