Кристаллы
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
С древнейших времен кристаллы поражали человеческое воображение своим исключительным геометрическим совершенством. Наши предки видели в них творение ангелов или подземных духов. Первой попыткой научного объяснения формы кристаллов считается произведение Иоганна Кеплера О шестиугольных снежинках (1611 г). Кеплер высказал предположение, что форма снежинок (кристалликов льда) есть следствие особых расположений составляющих их частиц. Спустя три века было окончательно установлено, что специфические особенности кристаллов связаны с особым расположением атомов в пространстве, которые аналогичны узорам в калейдоскопах. Все различные законы таких расположений были выведены в 1891 году нашим замечательным соотечественником, родоначальником современной кристаллографии Е. С. Федоровым (1853-1919). Правильные формы кристаллических многогранников легко объясняются в рамках этих законов. И сами эти законы настолько красивы, что не раз служили основой для создания произведений искусства.
С геометрической точки зрения расположение атомов в пространстве представляется системой точек, соответствующих их центрам. Поэтому задачу можно поставить так: требуется найти геометрические условия, выделяющие системы точек с кристаллической структурой, причем эти условия должны быть физически оправданы. Последнее весьма существенно, коль скоро мы хотим выяснить причины упорядоченного расположения атомов в кристаллах.
Простейшим геометрическим свойством систем точек, соответствующих центрам атомов в любых атомных совокупностях (а не только в кристаллах), является дискретность.
Условие дискретности. Расстояние между любыми двумя точками системы больше некоторой фиксированной величины r/
Физическая очевидность этого условия не вызывает сомнений.
Стремление атомов равномерно расположиться в пространстве можно отразить следующим ограничением на соответствующую систему точек:
Условие покрытия. Расстояние от любой точки пространства до ближайшей к ней точки системы меньше некоторой фиксированной величины R.
Название этого условия объясняется тем, что если система точек ему удовлетворяет, то шары радиуса R с центрами в этих точках покрывают все пространство.
Условие дискретности не позволяет точкам системы располагаться слишком густо, а условие покрытия слишком редко. Совместно эти два требования обеспечивают примерно равномерное расположение точек в пространстве. Системы точек, удовлетворяющие этим двум условиям одновременно, называются системами Делоне, в память об известном нашем геометре Б.Н.Делоне(1890-1980), впервые выделившем эти системы.
Простейшим примером системы Делоне (на плоскости) это множество узлов бесконечного листа клетчатой бумаги. В кристаллографии системы такого типа играют очень важную роль, и мы еще поговорим о них подробно. Из этой системы можно получить систему Делоне более общего вида, если произвольно сдвинуть каждый узел на расстояние, не превосходящее, скажем, 1/3 расстояния между соседними узлами.
Системы Делоне служат наиболее общей геометрической моделью расположения атомов в любом атомном образовании. Поэтому любую теорему об этих системах можно интерпретировать как свойство такого расположения. Этим обусловлена важность теории систем Делоне для приложений. Но сейчас нас интересует не общая теория систем Делоне (только начинающая развиваться), а некоторые их частные случаи системы, описывающие расположения центров атомов в кристаллических структурах. Чтобы выделить эти системы, мы воспользуемся главнейшим геометрическим свойством кристаллов симметрией.
Что такое симметрия? Интуитивно каждый из нас умеет отличать симметричное от несимметричного. Симметрические тела всегда можно разбить на равные части и даже многими способами. Но этого свойства еще не достаточно для определения симметрии. Равенство (или конгруэнтность) двух частей фигуры означает, что их можно совместить перемещением. Их равное окружение - это перемещение можно выбрать так, чтобы и вся фигура перешла сама в себя. Перемещение, переводящее некоторую фигуру в себя, называется ее преобразованием симметрии или самосовмещением. Итак, фигура симметрична, если она имеет хотя бы одно преобразование симметрии.
Множество всех преобразований симметрии данного объекта, рассматриваемое вместе с операцией композиции этих преобразований, называется группой симметрий (или самосовмещении) этого объекта. С этим важным математическим понятием, лежащим на стыке геометрии и алгебры, можно познакомиться, например, по книге П.С.Александрова Введение в теорию групп.
Итак, системы Делоне, отвечающие кристаллам, должны быть симметричны. Такие системы можно описать, опираясь на понятие равного окружения. Для этого соединим произвольную точку А системы Делоне со всеми остальными ее точками. Так полученную бесконечную совокупность отрезков назовем глобальной звездой точки А в данной системе. В общем случае глобальные звезды разных точек системы не равны друг другу. Но ясно, что если в системе окажется хотя бы две точки с равными глобальными звездами, система будет уже симметричной. Верно и обратное утверждение: всякая симметричная система Делоне содержит точки с равными глобальными звездами. Таким образом, равенство глобальных звезд хотя бы у двух точек системы Делоне есть необходимое и достаточное условие симметричности этой си