Комплексні числа
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
°ння комплексних чисел
Віднімання комплексних чисел означають як дію, обернену до додавання, коли за даною сумою й одним з доданків знаходять другий, невідомий доданок.
Означення. Різницею двох комплексних чисел z?= a + b? і z? = c + d? називається таке комплексне число z?= x+y? , яке в суммі з z? дає z?.
Отже, z?- z?= z?, якщо z? + z?= z?. можливість дії віднімання комплексних чисел та її однозначність потребує доведення.
Доведемо, що для будь яких комплексних чисел z?= a + b? і z? = c + d? різниця z?- z? визначена і до того ж однозначно. Доведемо, що існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+y?, яке в сумі з z? дає z?.
За означенням дії віднімання, (c + d?) + (x+y?) = a + b?. виконавши додавання в лівій частині рівності, дістанемо:
(c + x) + (d + y)? = a + b? (1).
З умови рівності двох комплексних чисел маємо:
c + x = a
d + y = b
Ця система має розвиток, і до того ж єдиний: x = a - c, y = b d. Отже, існує , і до того ж єдина, пара дійсних чисел (x, y), яка задовільняє рівняння (1), що і треба було довести. З доведеного випливає, що віднімання комплексних чисел виконують за таким правилом:
(a + b?) (c + d?) = (a - c) + (b d)?
Приклади: Виконати віднімання комплексних чисел.
1)(3+4?) (1+2?) = (3-1) + (4-2)? = 2 + 2?;
2)(-5+2?) (2+?) = (-5-2) + (2-1)? = -7+?;
3)(6+7?) (6-5?) = (6-6) + (7+5)? = 12?;
4)(0,3+2,5?) (-0,75+1,5?) = (0,3+0,75?) + (2,5-1,5?) = 1,05+?;
5)(2-2?) (2+3?) = (2-2) + (-2-3)? = -5?;
6)1+1/2) (1/4-3/5) = (1/3-1/4) + (1/2+3/5) = 1/12 + 11/10.
в) Множення комплексних чисел
Означення. Добутком двох комплексних чисел a + b? і c + d? називається комплексне число (ac - bd) + (ad + bc)? . Суть і доцільність цьго означення стане зрозумілою, якщо взяти до уваги, що цей добуток утворений так, як виконується множення двочленів з дійсними коефіцієнтами, а саме (a + b?)( c + d?) = ac + ad? + bc? + bd? = ac + (ad + bc)? + bd?. Замінюючи, за означенням, ?на 1, дістанемо: bd? = -bd . Відокремивши дійсну частину від уявної, остаточно матимемо:
(a + b?)( c + d?) = (ac - bd) + (ad + bc)? (2)
Формулу (2) не слід намагатися механічно запамятати. Під час множення комплексних чисел треба користуватись відомим правилом множення двочленів a + b? і c + d? з наступною заміною ?на 1.
Приклади: Виконити множення комплексних чисел.
1) (4-5?)(3+2?) = 12+8? -15? -10?= 12+10-7? =22-7?;
2)(3-?)(2+5?) = 6-2?+15?-5 ?= (6+5) + (15-2)?;
3)8?х3?х3 = -243;
4)(2-?)(-5) = -10+5?;
5)(-4-3?)(-6?) = -18+24?.
Дія множення комплексних чисел підлягає основним законам множення, встановленим для дійсних чисел: переставному і сполучному.
Знайдемо добуток двох спряжених комплексних чисел. Маємо: (a + b?)( a - b?) = a - (b?) = a -b? = a + b, тобто (a + b?)( a - b?) = a + b.
Приклади: Обчислити добуток.
1)(3+5?)(3-5?) = 9+25 = 34;
2)(2+?)(2-?) = 4+1 = 5;
3)(4+3?)(4-3?) = 16+3 = 19;
4)(х+у?)( х-у?) = х+у;
5)(3/4+2/5?)(3/4-2/5?) = 9/16+4/25 = 289/400.
Читаючи рівність (a + b?)( a - b?) = a + b справа наліво, робимо висновок, що сумму квадратів будь яких двох чисел можна подати у вигляді добутку комплексно спряжених множників.
Приклади: Розкласти на множники двочлени.
1)а+9 = (а+3?)(а-3?);
2)16m+25n = (4m+5n?)(4m-5n?);
3)49+36 = (7+6?)(7-6?);
4)а+16 = (а+4?)( а-4?);
5)в+7 = (в+7?)( в-7?).
г) Ділення комплексних чисел.
Ділення комплексних чисел означають як дію, обернену до дії множення, коли за даним добутком і одним з множників знаходять другий, невідомий множник. Причому в множині комплексних чисел залишається вимога, щоб дільник був відмінним від нуля.
Означення. Часткою комплексних чисел z? = a + b? та z? = c + d? називеється таке комплексне число z?= x+y?, яке при множенні на z? дає z?.
Можливість ділення комплексних чисел і його однозначність потребує доведення.
Доведемо, що частка комплексних чисел z? = a + b? та z? = c + d? визначена і до того ж однозначно, якщо c + d?? 0+0?. Отже, доведемо, що за умови існує, і до того ж єдине, комплексне число z?= x+y?, яке при множенні на z? дає z?. За означенням дії ділення, (c + d?)( x+y?) = a + b?. Виконавши в лівій частині цієї рівності дію множення, дістанемо: (c x - dy) + (cy +d x)? = a + b?.
З умови рівності двох комплексних чисел випливає:
c x - dy= a
cy +d x=b
Система має єдиний розвязок:
x= (a c +bd)\( c+d);
y = (bc- ad)\( c+d).
Із доведення випливає, що ділення ккомплексних чисел відбувається за таким правилом:
(a + b?)\( c + d?) = (a c +bd)\( c+d) + (bc- ad)?\( c+d).
Цей результат можна дістати, помноживши ділене і дільник на число, спряжене до дільника. Покажемо це:
(a + b?)\( c + d?) = (a + b?)( c - d?)\( c + d?)( c - d?) = ((a c +bd) + (bc- ad)? )\( c+d) = (a c +bd)\( c+d ) + ((bc- ad)?)\( c+d).
Цим принципом користуються під час розвязування вправ на ділення комплексних чисел.
Приклади. Знайти частку комплексних чисел.
а) (2+5?)/(3-2?) = (2+5?)(3+2?)/(3-2?)(3+2?) = (-4+19?)/13 = -4/13+19?/13;
б) (3+?)/? = (3+?)(-?)/? = 1-3?;
д) піднесення комплексних чисел до степеня.
За означенням, ? = ?, ?= - 1.
Користуючись рівністю ?= - 1, визначеко кілька послідовних ступенів уявної одиниці:
? =??= - 1?= -?; ? = ?? = -??= 1; ?=??=?; ?=??=-1; ?=??=-?; ?=-??=1.
Оскільки ?=1, то значення степенів періодично повторюються із збільшенням показника на 4. Так, ?= ? =-1, ?=? =-?, ? =? = 1і так далі.
Означення. Щоб піднести число до степеня з натуральним показником n, треба показник сепеня поділити на 4 і піднести до степеня, показник якого дорівнює остачі від ділення.
Приклади. Піднести до степеня:
а) ? = ? =? = ?? =-? ;
б) ? = ? = ? = ?= -1;
в) ? =? = ? = -?.
Правила піднесення до степеня уявної одиниці застосов?/p>