Исследование алгоритмов топологической сортировки
Дипломная работа - Компьютеры, программирование
Другие дипломы по предмету Компьютеры, программирование
?рицы В. Чтобы пересчитать полустепени захода всех вершин сети, оставшихся в ней после удаления вершины Vi, надо из вектора М вычесть i-ю строку матрицы В.
Если на очередном шаге входами сети являются вершины Vi, тАж , Vir , то для определения следующего тАЮслоя" вершин нужно из вектора М вычесть строки матрицы В с номерами i1, ... , ir и зафиксировать новые нулевые элементы вектора М, появившиеся после вычитания. Фиксировать следует именно новые нулевые элементы, поскольку элементы вектора М, соответствующие вершинам, лежащим на предыдущих уровнях, стали равными 0 на предыдущих шагах алгоритма.
Заметим, что порядковую функцию сети можно задать, указав множества вершин, принадлежащих каждому уровню, или сопоставив каждой вершине ее номер уровня. Первый способ более удобен при теоретических рассуждениях, второй - при вычислениях.
Алгоритм обрабатывает матрицу В смежности вершин графа порядка n. В результате работы алгоритма получаем массив Ord длины n, i-й элемент которого равен номеру уровня вершины Vi.
0.Сформировать множество V1 вершин сети. Значение счетчика уровней k положить равным 0. Найти суммы элементов по всем столбцам матрицы В (полустепени захода вершин) и заполнить ими массив М.
.Бели множество V1 не пусто, перейти на шаг 2, если иначе, то перейти на шаг 3.
.Определить множество I номеров всех новых нулевых элементов массива М, т.е. таких, что соответствующие этим номерам вершины принадлежат множеству V1.
.Присвоить элементам массива Ord с номерами из множества I номер уровня k и удалить вершины с этими номерами из множества V1 ("замаскировать" вершины). Вычесть из массива М строки матрицы В, соответствующие вершинам с номерами из множества I (т.е. вершинам последнего вычисленного уровня).
.Увеличить счетчик уровней на 1 (k = k + 1). Вернуться на шаг 1.
.Закончить работу.
Пример. Применим алгоритм Демукрона к сети, представленной на рисунке 2.1.2. Матрица смежности вершин сети имеет следующий вид:
Рисунок 2.1.3. - Матрица смежности вершин сети.
Приведем последовательность значений массива М, соответствующую итерациям алгоритма и множества Ni вершин i-го уровня (рисунок 2.1.4). Прочерки соответствуют вершинам, не принадлежащим множеству V1 ("замаскированные" вершины) на соответствующем этапе алгоритма.
Рисунок 2.1.4. - Значения массива М.
Алгоритм Демукрона может быть модифицирован так, чтобы он останавливался, если ориентированный граф, поданный на вход, не является сетью, и сообщал об этом. Можно увидеть, что анализируемый граф не будет сетью тогда и только тогда, когда при очередном перевычислении массива М не появятся новые нули. [3, с.349]
2.2 Метод топологической сортировки с помощью обхода в глубину
Поиск в глубину (или обход в глубину) является одним из основных и наиболее часто употребляемых алгоритмов анализа графов.
Согласно этому алгоритму обход вершин графа осуществляется по следующему правилу. Начиная с некоторой вершины, мы идем по ребрам графа, пока не упремся в тупик. Вершина называется тупиком, если в ней нет исходящих ребер, ведущих в непосещенные вершины. После попадания в тупик мы возвращаемся назад вдоль пройденного пути, пока не обнаружим вершину, у которой есть исходящие ребра, ведущие в непосещенные вершины, и из нее идем по одному из таких ребер. Процесс кончается, когда мы возвращаемся в начальную вершину, а все соседние вершины уже оказались посещенными. Если после этого остаются непосещенные вершины, то повторяем поиск из одной из них в соответствии с вышеописанным алгоритмом. Так делаем до тех пор, пока не обнаружим все вершины графа.
Наиболее подходящим способом для реализации данного алгоритма является рекурсия. В этом случае все возвраты вдоль пройденного пути будут осуществляться автоматически, в результате работы механизма реализации рекурсии в языке программирования (заметим, что не все языки позволяют записывать в явном виде рекурсивные алгоритмы).
Исходный граф G = (V, Е), где V - множество вершин графа, а Е - множество его ребер, может быть как ориентированным, так и неориентированным.
Переходя в вершину и из вершины v по ребру (и, и), мы запоминаем предшественника и при обходе в глубину: р[и] = v. Для вершин, у которых предшественников нет, положим р[и] = -1. Таким образом, получается дерево поиска в глубину. Если поиск повторяется из нескольких вершин, то получается несколько деревьев, образующих лес поиска в глубину. Лес поиска в глубину состоит из всех вершин исходного графа и ребер, по которым эти вершины впервые достигнуты.
Для наглядности будем считать, что в процессе работы алгоритма вершины графа могут быть белыми, серыми и черными. Изначально все вершины помечены белым цветом: color[o] =white. Впервые обнаружив вершину v, мы красим ее серым: цветом color[o] = grey. По окончании обработки всех исходящих ребер красим вершину и в черный цвет: color[o] = black.
Таким образом, белый цвет соответствует тому, что вершина еще не обнаружена, серый - тому, что вершина уже обнаружена, но обработаны еще не все исходящие из нее ребра, черный - тому, что вершина уже обнаружена и все исходящие из нее ребра обработаны.
Помимо того, для каждой вершины в процессе поиска в глубину полезно запоминать еще два параметра: в d[v] будем записывать время первого попадания в вершину, а в f[v] - время окончания обработки всех исходящих из v ребер. При этом d[v] и f[v] представляют собой целые числа из диапазона от 1 до 2|V|, где |V| - число вершин графа.
Вершина v будет белой до момен