Интерполяционный многочлен Ньютона. Итерационные уравнения
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задачи
Задание 1
Осуществить интерполяцию с помощью полинома Ньютона исходных данных из табл.1 вычислить значение интерполяционного полинома в точке .
Таблица 1
Порядковый номер исходных данных№12345678910Х3,5003,5503,6003,6503,7003,7503,8003,8503,9003,950У33,1134,6536,638,4740,4442,5244,746,9949,451,93
Решение
Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов записывается в виде
- конечная разность первого порядка
- конечная разность К-го порядка.
Таблица конечных разностей для экспериментальных данных:
13,50033,111,54000,4100-0,49000,6700-0,84000,9900-1,10001,1500-1,130023,55034,651,9500-0,08000,1800-0,17000,1500-0,11000,05000,020033,60036,61,87000,10000,0100-0,02000,0400-0,06000,070043,65038,471,97000,1100-0,01000,0200-0,02000,010053,70040,442,08000,10000,01000,0000-0,010063,75042,522,18000,11000,0100-0,010073,80044,72,29000,12000,000083,85046,992,41000,120093,90049,42,5300103,95051,93
.
Задание 2
Уточнить значение корня на заданном интервале тремя итерациями и найти погрешность вычисления.
, [0,4].
Решение
Вычислим первую и вторую производную функции . Получим и .
Итерационное уравнение запишется так:
.
В качестве начального приближения возьмем правый конец отрезка . Проверяем условие сходимости: . Условие сходимости метода Ньютона выполнено.
Таблица значений корня уравнения:
i13,523,355033,3428
Уточненное значение корня .
В качестве оценки абсолютной погрешности полученного результата можно использовать величину .
Задание 3.
Методами треугольников, трапеций и Симпсона вычислить определенный интеграл.
Решение
Метод прямоугольников
Значение интеграла на интервале определяется следующей формулой:
слева справа00,0320,25010,2500, 20020, 2000,26730,2670,2430,7490,9595
Значение интеграла: .
Метод трапеций
Площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту, которая равна расстоянию между точками по оси х. интеграл равен сумме площадей всех трапеций.
интерполяция полином ньютон итерационный
00,03210,25020, 20030,267
Значение интеграла: . Метод Симпсона
00,33310,2520,230,1667
Значение интеграла: .
Задание 4
Проинтегрировать уравнение методом Эйлера на интервале [0.2, 1.2]. Начальное условие у (0,2) =0,25.
Решение
Все вычисления удобно представить в виде таблицы:
00,20,25000,17440,04360,293610,450,29360,29110,07280,366420,70,36640,43850,10960,476030,950,47600,61540,15390,629841,20,62980,82200, 2055
Таким образом, задача решена.
Задание 5
Задача 1. Вычислить сумму и разность комплексных чисел, заданных в показательной форме. Переведя их в алгебраическую форму. Построить операнды и результаты на комплексной плоскости.
Задача 2. Вычислить произведение и частное комплексных чисел. Операнды и результаты изобразить на комплексной плоскости.
Задание 6.
Задача 1.
Задача 2.
Вычислить производную функции f (z) в точке .
Решение
Так как для аналитических функций справедливы все формулы и правила дифференцирования действительного аргумента, то
Вычислить интеграл по замкнутым контурам а) и б), считая обход контура в положительном направлении. Нарисовать область интегрирования, указать на рисунке особые точки.
Решение
а)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
б)
Подынтегральная функция имеет особые точки: . Тогда интеграл вычистится по следующей формуле:
.