Интегралы, дифуры, матрицы
Вопросы - Разное
Другие вопросы по предмету Разное
адку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.
5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.
В інтегралах sin2nxcos2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.
10. Інтегрування ірраціональних функцій.
1)
2)
3)
Підінтегральна ф-ія після виділення повного квадрата і заміни раціоналізується тригонометричними підстановками.
Визначений інтеграл
1. Поняття визначеного інтеграла
Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум Sn при і0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини хі, ні від вибору точок і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:
За означенням, визначений інтеграл число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.
Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.
2. Властивості визначеного інтеграла
1) Якщо f(x)=c=const, то
2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.
3) Якщо f1(x) та f2(x) інтегровні на [a;b], то:
4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.
5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.
6) Якщо f(x) інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то:
7) Якщо f(x)0 і інтегровна для x[a,b], b>a, то
8) Якщо f(x), g(x) інтегровні та f(x)g(x) для x[a;b], b>a, то:
9) Якщо f(x) інтегровна та mf(x)M, для x[a;b], b>a, то
10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) неперервна для x[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= c [a;b], що:
3. Поняття визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца.
Теорема: Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого x[a;b], то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:
Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.
Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) неперервна для x [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:
де F(x)=f(x)
Звязок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:
Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.
4. Метод підстановки у визначеному інтегралі
Теорема: Якщо: 1) f(x) неперервна для x[a;b]; 2) ()=а, ()=b; 3) x=(t) та (t) неперервні для t [;]; 4) при t [;]x [a;b], то
Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.
5. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі
Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для x[a;b], то
Узагальнення поняття інтеграла
1. Невластиві інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного b[a;+), так що існує.
Означення: Границя при b+ називається невластивим інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+) і позначається:
Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), розбіжним.
Вважаючи, що f(x) інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:
де с=const.
Теорема: Якщо при x a має місце нерівність 0f(x)g(x) то із збіжності інтеграла виходить збіжність інтеграла , або із розбіжності випливає розбіжність .
2. Обчислення невластивих інтегралів від розривних (необмежених) функцій
Нехай f(x) неперервна на проміжку (a;b] та при x=a має розрив 2-го роду.
Означення: називається невластивим інтегралом від розрізненої (необмеженої) функції f(x).
Якщо ця границя існує інтеграл збіжний, якщо ні розбіжний.
Для обчислення таких невластивих інтегралів використовують такі формули:
1) x = a точка розриву f(x),
2) x = b точка розриву f(x),
3) x=c(a;b) точка розриву f(x),
Зауваження: до невластивих інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для [a;b] не можна застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца.
3. Поняття подвійного інтеграла
Означення: Якщо існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f(x,y,z) в тривимірній області D, який позначається так:
За такою схемою можна побудувати n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f(M), M(x1, x2,…, xn,) у відповідній області D.
Властивості подвійного інтеграла:
1.
2.
3. якщо D=D1D2 D1D2= .
4. S площа області D.
4. Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла
Означення: Область D називається правильною по відношенню до деякої осі, якщо будь-яка пряма паралельна цій осі перетинає межу області не більше ніж у двох точках.
5. Заміна змінни?/p>