"Инкарнация" кватернионов
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
кватерниона. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов):
Здесь - векторное, а (u1, u2) - скалярное произведение кватернионов U1 и U2. Таким образом, скалярной частью кватерниона-произведения U1U2 оказывается скалярное произведение векторов u1 и u2, взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона u1u2 равна вектору произведения векторов u1, u2. Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов - скалярное и векторное.
Далее, можно видеть, что:
Отсюда,
Из последней формулы следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби для условных u1, u2, u3:
[u1, u2, u3] + [[u2, u3], u1] + [[u3, u1], u2] = 0.
Для этого достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли.
Алгебра кватернионов как алгебра с делением
Пусть дан кватернион ? = а + вi + сj + dk = а + u.
Кватернион = а - вi - сj - dk = а - u, отличающийся от ? знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом ?. Ясно, что .
Умножим кватернион ? на сопряженный ему . Получим
?= (а + u) (а - u) = а2 + аu - аu - u2 = a2 + (u, u) - [u, u] = а2 + (u, u) = а2 + в2 + с2 + d2.
Поэтому, если ? ?0, то ?>0. Заметим еще, что ?=?.
Число называется модулем (нормой) кватерниона ? и обозначается через модуль . Теперь легко установить, что каждый, отличный от 0 кватернион ? имеет обратный. Действительно, , так что обратным кватернионом для кватерниона ? является . Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением. Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R, заключение о неравенстве a2 + b2 + d2 ? 0 при ? ?0 было бы неверно, например, для поля C или для вычетов по простому модулю.
Тождество Эйлера
Начнем с уникально интересной теоремы.
Теорема. Модуль произведения 2-x кватернионов равен произведению модулей сомножителей.
Доказательство.
Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением 2-х кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке.
Действительно, пусть ? = а + u, ? = в + v, где а, в R, u и v - вектор-кватернионы. Тогда ?? = аb + аv + вu + vu = ab - (uv) + av + bu + [u, v].
Далее, = аb - ub + vu = аb - (u, v) - аv - bu + [v, u] = аb - (u, v) - аv - bu - [u, v] = ??.
Теперь имеем:
,
откуда , что и требовалось доказать.
Рассмотрим теперь тождество через компоненты кватернионов, положив
? = а1 - b1i - c1j - d1k, ? = а2 - в2i - с2j - d2k так, что
??=a1a2+b1b2+c1c2-d1d2+(а1b2-в1a2-с1d2+d1c2) i+(а1c2+b1d2-с1a2-d1b2) j+(а1a2-в1c2+с1b2-d1a2) k.
Получим известное тождество Эйлера:
(а12+в12+с12+d12) (а22+в22+с22+d22)=(а1a2+b1b2+с1c2+d1d2)2+(а1b2-b1a2-с1d2+d1c2)2+(а1c2-b1d2-с1a2-d1b2)2+(а1d2-b1c2+с1b2-d1a2)2,
позволяющее выразить произведение двух сумм квадратов в виде суммы 4 квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм 8 квадратов. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм n квадратов, кроме перечисленных при n = 2,4,8 и тривиального тождества при n = 1, не существует.
Вращение трехмерного евклидова пространства
Пусть u, v, w - тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда согласно правилу умножения векторов в алгебре кватернионов получим ?2 = v2 = ?2 = -1. Далее, ?v = - v? + [?, v] = [?, v] = ?. Здесь воспользуемся тем, что векторное произведение взаимоортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов i, j, k. Аналогично, v? = -?; v? = -?v = ?; ?? = -?? = ?. Таким образом, правило умножения векторов ?, v, ? является полным аналогом правила умножения векторов i, j, k. Иными словами, отображение 1>1, i>?, j>v, k>? задает изоморфизм алгебры кватернионов на себя, то есть, автоморфизм этой алгебры. Линейное преобразование пространства векторов, отражающих тройку i, j, k на тройку ?, v, ?, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти 2 тройки образуют ортогональные, одинаково ориентированные базисы пространства векторов.
Все автоморфизмы получаются указанным способом.
Действительно, пусть ?, v, ? - ?-образы i, j, k при некотором автоморфизме. Тогда ?2 = v2 = ?2 = -1; v? = -?v = ?; v? = -?v = ? и ?? = -?? = v. Из равенства ?2 = 1 заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. Действительно, пусть ? = а + ?1, где а - скалярная часть ?. Тогда -1 = ?2 = а2 + 2а?1 - , откуда 2а?1= 0. Если допустить, что ?1= 0, то 1 = а2, что невозможно. Поэтому ? ? 0, следовательно, а = о, . По той же причине кватернионы ? и v являются векторами единичной длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона ?v = ? равна 0, заключаем, что векторы ? и v ортогональны. По той же причине ортогональны векторы ?, ? и ?, ?, так что ?, v, ? составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, j, k, ибо в противном случае было бы ?v = ?, а не v? = ?.
Пусть теперь ? - некоторый кватернион единичного модуля. Отображение х>?-1х? есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение прос