Застосування методу Монте-Карло для кратних інтегралів
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
остотою і загальністю. Повільна збіжність є істотним недоліком методу, однак, можуть бути зазначені його модифікації, які забезпечують високий порядок збіжності при певних припущеннях. Правда, процедура обчислення при цьому ускладнюється і наближається по своїй складності до інших процедур обчислювальної математики. Збіжність методу Монте-Карло є збіжністю по імовірності. Цю обставину навряд чи варто відносити до числа його недоліків, тому що імовірні методи в достатній мірі виправдовують себе в практичних застосуваннях. Що ж стосується задач, що мають імовірний опис, то збіжність по імовірності є навіть якоюсь мірою природною при їхньому дослідженні.
- Обчислення кратних інтегралів методом Монте-Карло
Нехай функція неперервна в обмеженій замкнутій області S і потрібно обчислити m-кратний інтеграл
. (1)
Геометрично число I являє собою (m+1)- мірний обєм прямого циліндроїда в просторі , побудованого на основі S і обмеженого зверху даною поверхнею
, де .
Перетворимо інтеграл (1) так, щоб нова область інтегрування повністю містилась усередині одиничного m-мірного куба. Нехай область S розміщена в m-мірному паралелепіпеді
. (2)
Зробимо заміну змінних
. (3)
Тоді, очевидно, m-мірний паралелепіпед (2) перетвориться в m-мірний одиничний куб (4)
а, отже, нова область інтегрування ?, яка знаходиться за звичайними правилами, буде повністю розташована усередині цього куба.
Обчислюючи якобіан перетворення, будемо мати:
.
Таким чином, , (5)
де . Увівши позначення і , запишемо інтеграл (5) коротше в наступному виді: . (5/)
Укажемо спосіб обчислення інтеграла (5/) методом випадкових випробувань.
Вибираємо m рівномірно розподілених на відрізку [0, 1] послідовностей випадкових чисел:
Точки можна розглядати як випадкові. Вибравши досить велике N число точок , перевіряємо, які з них належать області ? (перша категорія) і які не належать їй (друга категорія). Нехай
1. при i=1, 2, …, n (6)
2. при i=n+1, n+2, …,N (6/) (для зручності ми тут змінюємо нумерацію точок).
Зазначимо, що відносно границі Г області ? варто заздалегідь домовитися, чи зараховуються граничні точки або частина їх до області ?, чи не зараховуються до неї. У загальному випадку при гладкій границі Г це не має істотного значення в окремих випадках потрібно вирішувати питання з урахуванням конкретної ситуації.
Узявши досить велике число n точок , приблизно можна покласти: ; звідси шуканий інтеграл виражається формулою
де під ? розуміється m-мірний обєм області інтегрування ?. Якщо обчислити ? важко, то можна прийняти: , звідси . В окремому випадку, коли ? є одиничний куб, перевірка стає зайвою, тобто n=N і ми маємо просто
.
2.1 Принцип роботи методу МонтеКарло
Датою народження методу Монте-Карло визнано вважати 1949 рік, коли американські учені Н. Метрополіс і С. Услам опублікували статтю під назвою Метод Монте-Карло, в якій були викладені принципи цього методу. Назва методу походить від назви міста МонтеКарло, що славився своїми гральними закладами, неодмінним атрибутом яких була рулетка один з простих засобів здобуття випадкових чисел з хорошим рівномірним розподілом, на використанні яких заснований цей метод. Метод МонтеКарло - це статистичний метод. Його використовують при обчисленні складних інтегралів, вирішенні систем рівнянь алгебри високого порядку, моделюванні поведінки елементарних часток, в теоріях передачі інформації, при дослідженні складних економічних систем. Суть методу полягає в тому, що в завдання вводять випадкову величину , що змінюється по якому те правилу . Випадкову величину вибирають так, щоб шукана в завданні величина стала математичною чекання від , тобто .
Таким чином, шукана величина визначається лише теоретично. Щоб знайти її чисельно необхідно скористатися статистичними методами. Тобто необхідно узяти вибірку випадкових чисел обємом . Потім необхідно обчислити вибіркове середнє варіанту випадкової величини по формулі:
.(1)
Обчислене вибіркове середнє приймають за наближене значення
.
Для здобуття результату прийнятної точності необхідна велика кількість статистичних випробувань. Теорія методу Монте-Карло вивчає способи вибору випадкових величин для вирішення різних завдань, а також способи зменшення дисперсії випадкових величин.
3. Програма обчислення кратного інтеграла методом Монте-Карло
Обчислити певний інтеграл . за методом “Монте-Карло” по формулі
,
де n число випробувань ;g(x) щільність розподілу.
3.1 Програма складена на мові програмування TURBO PASCAL 7.0
program MonteCarlo;
uses
crt;
const k=100;
Var a,b,c,d,ng,vg,x,y,s,integral : real;
n,i,j : integer;
integr:array[1..k]of real;
Function f(x,y:real):real;
Begin
f:=Sqrt(x+y);
end;
Function nm(x:real):real;
Begin
nm:=3*x;
end;
Function vm(x:real):real;
Begin
vm:=8*x;
end;
BEGIN
clrscr;
writeln(Vvedit znachennya granyts integruvannya );
write(a=); readln(a);
write(b=); readln(b);
writeln(Vvedit chyslo vyprobuvan:);
readln(n);
c:=nm(a);
d:=vm(b);
randomize;
for j:=1 to k do
begin
s:=0; integral:=0;
For i:=1 to n do
begin
x:=a+(b-a)*random;
y:=c+(d-c)*random;
ng:=nm(x);
vg:=vm(x);
If (y = ng) then s:=s + f(x, y);
end;
integr[j]:=(b-a)*(d-c)*s/n;
writeln(integr[j]:10:4);
end;
for j:=1 to k do
Integral:=integral+ integr[j];
writeln(Userednenyy integral=,(integral/k):10:4);
readln;