Замечательные кривые в математике. Прямая, окружность, циклоида, кривая кратчайшего спуска, спираль ...
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
;
ТЕОРЕМА БРИАНШОНА
Французский математик Шарль Брианшон (1783 1864) обнаружил в 1806 г., что верна следующая теорема, которая, как мы увидим, является своего рода перевертышем по отношению к теореме Паскаля.
Проведем 6 касательных к окружности (или к любому коническому сечению), перенумеруем их в каком-либо порядке и найдем последовательные точки
Рис. 19.
пересечения (рис. 19). Теорема Брианшона утверждает, что три прямых, соединяющих шесть точек пересечения, взятых через две: первой с четвертой, второй с пятой, третьей с шестой, пересекаются в одной точке.
Рис. 20.
Чтобы подчеркнуть тесную связь между формулировками двух теорем, Брианшон записал обе формулировки в двух столбцах, одну против другой (следите за рис. 20, где слева пояснена теорема Паскаля, а справа - Брианшона).
Теорема Паскаля
Пусть 1,2,3,4,5,6 - шесть каких-либо точек на коническом сечении.
Соединим их по порядку прямыми I,II,III, IV, V и VI и найдем три точки пересечения этих шести прямых, взятых через две: I с IV, II с V и III с VI.
Тогда эти три точки будут лежать на одной прямой.Теорема Бриаишона
Пусть 1,2,3,4,5,6 - шесть каких-либо касательных к коническому сечению.
Найдем по порядку точки их пересечения I,II,III,IV,V и VI и соединим прямыми эти шесть точек, взятых через две: I с IV, II с V, III с VI.
Тогда эти три прямые будут пересекаться в одной точке.
Очевидно, что для перехода от одной формулировки к другой достаточно произвести такие замены одних слов и выражений на другие: вместо точек - касательные, вместо соединять точки прямыми - находить точки пересечения прямых, вместо три точки лежат на одной прямой - три прямые пересекаются в одной точке. Короче можно сказать, что при этом переходе прямые и точки меняются между собой ролями. В проективной геометрии указываются условия, при которых в результате подобной замены из одной верной теоремы (не обязательно теоремы Паскаля) получается другая теорема, также верная. Это так называемый принцип двойственности, позволяющий доказывать из двух геометрических теорем только одну. Другая будет верной, так сказать, автоматически.
Лемниската Бернулли
Обратимся к кривой, описываемой точкой М на плоскости так, что остается неизменным произведение р расстояний этой точки до двух определенных точек F1 и F2 той же плоскости. Такая кривая называется лемнискатой (лемниската по-гречески значит ленточная). Если длина отрезка F1F2 есть с, то расстояния от середины О отрезка F1F2 до F1 и F2 равны с/2 и произведение этих расстояний равно с2/4. Потребуем сначала, чтобы величина р неизменного произведения равнялась как раз с2/4; тогда
Рис. 21
точка О будет лежать на лемнискате, а сама лемниската будет иметь вид лежащей восьмерки (рис. 21). Если продолжить отрезок F1F2 в обе стороны до пересечения с лемнискатой, то получим две точки А1 и А2. Выразим расстояние между А1А2= х через известное расстояние с:
(х/2+с/2)(х/2-с/2)=х2/4-с2/4.
Если величину неизменного произведения р взять не равной с2/4, то лемниската изменит свой вид. И при р меньше с2/4, лемниската состоит из двух овалов, каждый из которых содержит точки F1 и F2, соответственно (рис.22).
Рис. 22
Т.о. задавая различные условия для р и с2/4 будем получать лемнискаты различного вида (рис. 23).
Рис. 23
Возьмем теперь на плоскости любое количеств точек. F1,F2, ..., Fn и заставим точку М двигаться так, чтобы для нее оставалось неизменным произведение расстояний до каждой из взятых точек. Получим Кривую, форма которой будет зависеть от того, как расположены точки F1,F2, ..., Fn друг относительно друга и какова величина неизменного произведения. Кривая эта называется лемнискатой с n фокусами.
Выше мы рассматривали лемнискаты с двумя фокусами. Беря разное число фокусов, располагая их по-разному и назначая ту или иную величину для произведения расстояний, можно получать лемнискаты самых причудливых очертаний. Будем вести острие карандаша из некоторой точки А, не отрывая от бумаги, так, чтобы оно в конце вернулось в исходную точку А. Тогда оно опишет некоторую кривую; мы потребуем только, чтобы эта кривая нигде не пересекала
Рис. 24
самое себя. Очевидно, что таким путем могут получиться кривые, имеющие, например, очертания человеческой головы или птицы (рис. 24). Оказывается, что, имея такую произвольную кривую, можно так подобрать число п и расположение фокусов
F1,F2, ..., Fn
и назначить такую величину для неизменного произведения расстояний
МF1 МF2… МFn = p
что соответствующая лемниската на глаз не будет отличаться от этой кривой. Иными словами, возможные отклонения точки М, описывающей лемнискату, от нарисованной кривой - не будут превосходить ширину карандашного штриха (карандаш можно заранее отточить как угодно хорошо так, что штрих будет очень узким). Этот замечательный факт, говорящий о необычайном разнообразии н богатстве форм лемнискат с многими фокусами, доказывается совершенно строго, нo очень сложно, при помощи высшей математики.
Список литературы
1. Маркушевич А.И., Замечательные кривые, М., 1978 г., 48 стр. с илл.