Задачи на определение вероятностей
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Теория вероятностей
вероятность прибор надежность
1. Достаточным условием сдачи коллоквиума является ответ на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем студенту. Студент не знает ответов на 8 вопросов из тех 40, которые могут быть предложены. Какова вероятность того, что студент сдаст коллоквиум?
Решение.
Обозначим события:
А - студент сдаст коллоквиум (студент ответит на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)
- студент не сдаст коллоквиум (студент не ответит ни на один из двух вопросов, предлагаемых преподавателем)
Так события А и противоположные, то . Найдем вероятность .
Число исходов m, благоприятствующих наступлению события , равно числу комбинаций, каждая из которых состоит из 2 вопросов, выбираемых из 8 (число вопросов невыученных студентом), т.е. .
Общее число исходов n равно числу комбинаций по 2 вопроса, выбираемых из 40 предлагаемых преподавателем, т.е. .
Тогда
.
Ответ:
2. Рабочий обслуживает одновременно четыре станка, из которых на первом вероятность нарушения нормальной работы в течение часа после проверки составляет 0,1, на втором - 0,15, на третьем - 0,2, на четвертом - 0,25. Какова вероятность бесперебойной работы всех четырех станков на протяжении часа?
Решение.
Рассмотрим событие
А - все четыре станка бесперебойно работают в течение часа после проверки.
Событие А можно представить в виде произведения четырех независимых событий А1, А2 , А3 , А4: ,
где - i-тый станок бесперебойно работает в течение часа после проверки
- i-тый станок выходит из строя в течение часа после проверки ().
По условию задачи известны вероятности событий :
.
Тогда вероятности событий :
.
Найдем вероятность :
( - независимы, )
Ответ:
3. Прибор, установленный на борту самолета, может работать в двух режимах: в условиях нормального крейсерского полета и в условиях перегрузки при взлете и посадке. Крейсерский режим осуществляется в 80% всего времени полета, условия перегрузки - 20%. Вероятность выхода прибора из строя за время полета в нормальном режиме равна 0,1; в условиях перегрузки - 0,4. Вычислить надежность прибора за время полета.
Решение.
Рассмотрим событие А - прибор работает правильно за время полета
Возникают две гипотезы:
В1 - условие нормального крейсерского полета
В2 - условия перегрузки
Исходя из условия задачи, определим вероятности гипотез:
.
Определим условные вероятности:
,
где событие - показания прибора неправильные является противоположным к событию А.
Определим вероятность события А по формуле полной вероятности:
.
Ответ:
4. Имеется 3 урны: в первой - 3 белых и 5 черных шаров, во второй - 4 белых и 5 черных, в третьей - 7 белых (черных нет). Некто выбирает наугад одну урну и вынимает один шар. Этот шар оказался белым. Найти вероятность того, что шар вынут из второй урны.
Решение.
Рассмотрим событие А = вынут белый шар. Возникают три гипотезы:
В1 - шар вынут из первой урны
В2 - шар вынут из второй урны
В3 - шар вынут из третьей урны.
Определим вероятности гипотез:
.
Определим условные вероятности:
.
По условию задачи необходимо найти условную вероятность . По формуле Байеса находим:
Ответ:
5. Вероятность хотя бы одного попадания в цель при двух выстрелах равна 0,96. Найти вероятность двух попаданий при трех выстрелах.
Решение. Обозначим событие: А - стрелок попал в цель.
По условию задачи известна вероятность события .
По схеме Бернулли имеем:
.
Тогда получим уравнение относительно р:
- посторонний корень, т.к. .
Необходимо найти . По схеме Бернулли имеем:
.
Ответ:
6. Вероятность появления события А в одном испытании равна р. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие А произойдет: а) т раз; б) от до раз. а) ; б) .
Решение.
а) Применяя формулу Бернулли можем записать: ,
где - вероятность противоположного события.
Вычисление точного значения по формуле Бернулли вызывает технические сложности, поэтому решим поставленную задачу приближенным способом с помощью локальной теоремы Лапласа:
, где .
Тогда , (приложение 1).
б) Решим поставленную задачу приближенным способом с помощью интегральной теоремы Лапласа:
,
где .
Находим:
.
Тогда .
Ответ: а) б)