Елементи дисперсійного аналізу і теорії кореляції
Информация - Экономика
Другие материалы по предмету Экономика
p>
(14)
(15)
2.4 Визначення параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за незгрупованих даних
Нехай під час дослідження кількісних ознак ( , ) у результаті незалежних випробувань отримано пар чисел: , ,...,. Будемо шукати функцію в лінійному наближенні (все аналогічно проводиться і для функції у випадку регресії на ). Крім того, у припущенні незгрупованих даних спостережень (різні значення ознаки і відповідні їм значення ознаки спостерігалися по одному разу) і можна замінити на і . Під час цього рівняння прямої лінії регресії на можна подати у вигляді
(16)
Кутовий коефіцієнт прямої (16) називається вибірковим коефіцієнтом регресії на і позначається . Він є оцінкою коефіцієнта регресії в рівнянні (10). Тепер рівняння (16) можна переписати
(17)
Підберемо параметри і так, щоб сума квадратів відхилень прямої (17) від точок , ,...,, побудованих за даними спостережень, була б мінімальною
(18)
де
ордината, що спостерігається, і є відповідною до ,
ордината точки, що лежить на прямій (17) і має абсцису ,
.
Підставивши значення з рівняння (17) у формулу (18), одержимо
(19)
Дорівнявши нулю частинні похідні і функції (19) одержимо систему двох лінійних алгебраїчних рівнянь щодо параметрів і для знаходження точки її мінімуму
(20)
де
, , ,
звідкіля остаточно знаходимо
Аналогічно визначається вибіркове рівняння прямої лінії регресії на .
2.5 Знаходження параметрів вибіркового рівняння прямої лінії середньоквадратичної регресії за згрупованими даними
При великій кількості спостережень одне й те ж саме значення може зустрітися раз, значення раз, одна й та ж пара чисел може спостерігатися раз. Тому дані спостережень групують, тобто підраховують відповідні частоти , , . Усі згруповані дані записують у вигляді таблиці, що називають кореляційною.
Приклад такої таблиці приведено нижче (табл. 3).
Таблиця 3
102030400,45714260,6264120,8319228211318
У першому рядку цієї таблиці дано перелік значень (10; 20; 30; 40) ознаки , що спостерігаються, а в першому стовпці спостерігаємі значення (0,4; 0,6; 0,8) ознаки . На перетинанні рядків і стовпчиків знаходяться частоти пар значень ознак. Наприклад, частота 5 вказує, що пара чисел (10; 0,4) спостерігається 5 разів. Риска означає, що відповідна пара чисел, наприклад (20; 0,4), не спостерігається.
В останньому стовпчикові записані суми частот рядків. В останньому рядку записані суми частот стовпчиків. У нижньому правому куті таблиці, поміщена сума всіх частот (загальна кількість всіх спостережень ).
У випадку згрупованих даних з урахуванням очевидних співвідношень
, , ,
систему рівнянь (20) можна переписати у виправленому вигляді
З рішення цієї системи ( , ) знаходимо рівняння прямої регресії
Шляхом нескладних перетворень його можна переписати у вигляді
де , вибіркові середні квадратичні відхилення величин і
(21)
вибірковий коефіцієнт кореляції.
Вибірковий коефіцієнт кореляції. Як відомо з теорії ймовірностей, якщо величини і незалежні, коефіцієнт їхньої кореляції , якщо величини і повязані лінійною функціональною залежністю. Тобто коефіцієнт кореляції характеризує ступінь лінійного звязку між і .
Вибірковий коефіцієнт кореляції є оцінкою коефіцієнта кореляції генеральної сукупності, тому він також характеризує міру лінійного звязку між величинами і .
3 Поняття про криволінійну кореляцію
Раніше ми обмежилися лінійним наближенням функцій регресії, рівнянь регресії, відповідно і кореляційного звязку. Однак теорію можна узагальнити і на наступні наближення.
Нехай дані спостережень над кількісними ознаками і зведено до кореляційної таблиці. Тим самим значення , що спостерігаються, розбито на групи; кожна група містить ті значення , що відповідають визначеному значенню . Для приклада розглянемо кореляційну таблицю 4.
Таблиця 4
10203015428638256612102812211520
До першої групи відносяться ті 10 значень (4 рази спостерігалося значення і 6 разів ), що відповідають . До другої групи ті 28 значень (28 разів спостерігалося і 0 разів ), що відповідають . До третьої групи відносяться 12 значень (6 разів спостерігалося і 6 разів ).
Умовні середні тепер можна назвати груповими середніми: групова середня першої групи
групова середня другої групи
для третьої групи
Оскільки всі значення ознаки розбито на групи, можна уявити загальну дисперсію ознаки у вигляді суми внутрішньо групової і міжгрупової дисперсій
Можна показати, що, якщо між величинами і є функціональна залежність, то
якщо ж вони повязані кореляційною залежністю, то
Вибіркове кореляційне відношення. Для оцінки ступені тісноти лінійного кореляційного звязку між ознаками у вибірці застосовується вибірковий коефіцієнт кореляції (21). У разі нелінійного кореляційного звязку з тою ж метою вводяться нові узагальнені характеристики:
вибіркове кореляційне відношення до ;
вибіркове кореляційне відношення к.
Вони визначаються за формулами:
,
Размещено на