• Дисциплины
• Виды работ

Доказательство теоремы Ферма для n=4

Сочинение - Математика и статистика

Другие сочинения по предмету Математика и статистика

Доказательство великой теоремы Ферма для показателя степени n=4

 

Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

 

Аn+ Вn = Сn (1)

 

где n - целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение (1) запишем следующим образом:

 

Аn = Сn - Вn (2)

 

Пусть показатель степени n=4. Тогда уравнение (2) запишется следующим образом:

 

А4 = С4 -В4 (3)

 

Уравнение (3) запишем в следующем виде:

 

А4 = (С2) 2 - (В2) 2 = (С2 -В2) • (С2 +В2) (4)

Пусть: (С2 -В2) = N4 (5)

 

Уравнение (5) рассматриваем как параметрическое уравнение 4 - ой степени с параметром N и переменными B и С. Преобразуем уравнение (5):

 

N4 = (С -В) (С +В) (6)

 

Для доказательства используем метод замены переменных. Обозначим:

C-B=M (7)

 

Из уравнения (7) имеем:

 

C=B+M (8)

 

Из уравнений (6), (7) и (8) имеем:

 

N4=M• (B+M+B) =M• (2B+M) = 2B•M+M2 (9)

 

Из уравнения (9) имеем:

 

N4 - M2= 2B•M (10)

 

Отсюда:

 

B = (11)

 

Из уравнений (8) и (11) имеем:

 

C= (12)

 

Из уравнений (11) и (12) следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является делимость числа N4 на число M, т.е. число M должно быть одним из сомножителей, входящих в состав сомножителей числа N4.

Из уравнений (11) и (12) также следует, что необходимым условием для того чтобы числа В и С были целыми, является также одинаковая четность чисел N и M: оба числа должны быть четными или оба нечетными.

Из уравнений (11) и (12) также следует:

 

С2 +В2= (13)

 

Обозначим:

 

С2 +В2 = K (14)

 

Пусть:

 

N=P•S; M=S2

 

Тогда:

 

K = С2 +В2 = (15)

 

Из уравнений (4), (5) и (15) следует:

 

A4 = N4• K=N4 S4• (16)

 

Отсюда следует:

 

A = N S• (17)

Очевидно, что:

 

- дробное число.

 

То есть:

 

С2 + В2 ? R4; A4 ? N4•R4

 

Следовательно, в соответствии с формулой (17) число А - дробное число.

Другими словами, определенные по формулам (11) и (12) значения чисел B и С удовлетворяют только уравнению (5) и не удовлетворяют предполагаемому равенству:

 

С2 + В2 = R4

 

Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах для показателя степени n=4.