Дифференциальные уравнения движения механической системы
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
статического равновесия каждого груза.
Тогда первый груз движется под действием силы упругости пружины с коэффициентом жесткости , пружины с коэффициентом жесткости , расположенной между телами, и вынуждающей силы. Дифференциальное уравнение движения первого груза в проекции на ось имеет вид:
Второй груз движется только под действием пружины с коэффициентом жесткости , и дифференциальное уравнение движения его будет иметь вид:
Решать эту систему уравнений нужно совместно. При этом нас интересует случай гашения колебаний первого груза, т. е. условия, когда . При выполнении этого условия уравнения движения принимают вид:
Из первого уравнения выражаем , дважды дифференцируем и подставляем во второе. После сокращения получим:
Это и есть условие гашения колебаний - его можно выполнить, подбирая либо массу, либо жесткость пружины, либо то и другое. При этом слишком малое значение массы (из требования минимума дополнительного веса) может привести к малому , а это даст очень большую амплитуду колебаний дополнительной массы.
Решение такого рода задач при количестве масс , как отмечено выше, возможно только в некоторых исключительных случаях. Поэтому далее рассматриваем движения системы как некоторого целого образования, так что определим закон движения центра масс системы.
Возьмем за основу систему уравнений (1) и почленно сложим ее левые и правые части - получим уравнение (2).
Формула радиуса-вектора центра масс имеет вид:
Беря вторую производную от обеих частей этого равенства, получим в уравнении (2):
Запишем теорему о движении центра масс системы:
Проектируя это уравнение на оси системы координат, получим:
, ,
5. Список литературы
1.Аппель П., Теоретическая механика. Москва: Государственное издательство физико-математической литературы, 1960;
2.Люкшин Б. А., Теоретическая механика: Учебное пособие. Томск: Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2004;
.Маркеев А. П., Теоретическая механика: Учебник для университетов. Москва: ЧеРо, 1999.