Дифференциальные уравнения
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
»яющими переменными называется уравнение вида
Функции , , , непрерывны в своих областях определения и 0
Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение получим уравнение с разделяющимися переменными
.
Общий интеграл этого уравнения имеет вид:
1.5 Однородные уравнения I порядка
Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида .
Заменой z=y/x это уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными относительно функции z=z(x)
1.6 Уравнения, приводящиеся к однородному
Уравнением, приводящимся к однородному, называется дифференциальное уравнение вида.
Заменой это уравнение приводится к однородному уравнению .
Здесь - это единственное решение линейной системы
.7 Линейные уравнения I порядка
Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида .
Здесь - известные, непрерывные на [a;b] функции.
Доказано, что если функции непрерывны на [a;b], то для любой начальной точки [a;b], задача Коши
Имеет единственное решение y=y(x) на [a;b].
Рассматривают однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка: , .
Общее решение линейного уравнения 1-го порядка можно найти с помощью замены y(x)=
.8 Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется уравнение первого порядка вида .
Здесь - известные, непрерывные на [a;b] функции, n>1.
Заменой z(x)= уравнение Бернулли сводится к линейному уравнению относительно функции z(x):
,
, ,
.
Получаем линейное относительно z(x) равнение:
1.9 Уравнения в полных дифференциалах
Уравнение называется уравнением в полных дифференциалах, если выражение в левой части уравнения является дифференциалом некоторой функции двух переменных F(x,y), т.е. если
Тогда F(x,y)=C - общий интеграл уравнения. Здесь C - произвольная производная.
Уравнение является уравнением в полных дифференциалах, тогда и только тогда, когда
.10 Теорема существования и единственности решения задачи Коши
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, записанное в нормальной форме:
Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения
Функция y=y(x) является решением задачи Коши:
если y(x)=y дифференцируема на [a,b], (x,y(x)) для всех x из [a,b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:
Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:
Пусть функция и ее частная производная непрерывны в некоторой области D плоскости и точка принадлежат области D. Тогда:
В некоторой окрестности точки существует решение задачи Коши
Если и два решения задачи Коши, то на
Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.
Бесконечное множество решений уравнения: можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций - семейство решений задач Коши.
элементы которого различны для разных значений . Иными словами область D расслаивается на интегральные кривые
Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер - существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо, что оно не единственное.
Список литературы
Кузнецов Л.С. Сборник задач по высшей математике. СПб: Лань, 2005
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для вузов. Том 1. М: Наука, 1978
1.