Диофантовые уравнения
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
нка - 1 монету?
Для решения этой задачи обозначим искомое число петухов через х, кур - через y, а цыплят через 4z (из условия видно, что число цыплят должно делится на 4). Составим систему уравнений:
{x+y+4z=100
{5x+4y+z=100,
которую надо решить в целых неотрицательных числах. Умножив первое уравнение системы на 4, а второе - на (- 1) и сложив результаты, придем к уравнению - х+15z=300 с целочисленными решениями х= - 300+ 15t, z = t. Подставляя эти значения в первое уравнение, получим y = 400 - 19t. Значит, целочисленные решения системы имеют вид х= -300+15t, y = 400-19t, z = t. Из условия задачи вытекает, что
{- 300+ 15t?0,
{ 400-19t?0,
{ t?0
откуда 20?t?21 1/19, т.е. t = 20 или t = 21. Итак, на 100 монет можно купить 20 кур и 80 цыплят, или 15 петухов, 1 курицу и 84 цыпленка
Второй метод решения диофантовых уравнений первой степени по своей сути не слишком отличается от рассмотренного в предыдущем пункте, но он связан с ещё одим интересным математическим понятием. Речь идёт о непрерывных или цепных дробях. Чтобы определить их вновь обратимся к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (1) вытекает, что дробь а/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: a/b=q0+r1/b . Но r1/b=1/b, и на основании второго равенства той же системы имем b/r1=q1+r2/r1. Значит, a/b=q0+1/q1+r2/r1. Далее получим a/b=q0+1/q1+1/q2+r3/r2. Продолжим этот процесс до тех пор , пока не придём к знаменателю qn. В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: a/b=q0+1/q1+1/q2+1/…1/qn. Эйлер назвал дроби такого вида непрерывными. Приблизительно в то же время в Германии появился другой термин- цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. В качестве примера представим дробь 40/3t в виде цепной: 40/3t=1+9/3t=1/3t/9=1+1/3+4/9=1+1/3+1/9/4=1+1/3+1/2+1/4 .
Цепные дроби обладают следующим важным свойством: если действительное число а записать в виде непрерывной дроби , то подходящая дробь Pk/Qk даёт наилучщее приближение числа a среди всех дробей, знаменатели которых не превосходят Qk . Именно в процессе поиска наилучшего приблежения значений квадратных корней итальянский математик Пиетро Антонио Катальди (1552-1626) пришёл в 1623году к цепным дробям, с чего и началось их изучение. В заключение вернёмся к цепным дробям и отметим их преимущество и недостаток по сравнению, например, с десятичными. Удобство заключается в том, что их свойства не связаны ни с какой системой исчисления. По этой причине цепные дроби эффективно используются в теоретических исследованиях. Но широкого практического применения они не получили, так как для них нет удобных правил выполнения арифметических действий, которые имеются для десятичных дробей.
Рассмотрим Диофантовы уравнения и решим их.
1 Решить в целых числах уравнение 3x+5y=7.
Решение.
Имеем
x=7-5y/3=6-3y-2y+1/3=2-y+1-2y/3,
1-2y=3k,
y=1-3k/2=1-2k-k/2=-k+1-k/2,
1-k=2t, k=1-2t,
y=1-3(1-2t)/2=-1+3t,
x=7-5(-1+3t)/3=4-5t
(t-любое число).
2 Решить в целых числах уравнение 6x+5y=74.
6x-24=50-5y, или 6(x-4)=5(10-y), откуда x-4=5u,т.е. 4+5u?0, откуда u?-4/5.
Аналогично:
10-y=6u, т.е. 10-6u?0, u?5/3.
Целое число u удовлетворяет неравенству
-4/5?u?5/3, значит. u=0 и u=1.
При u=0, получим 10=y, где y-не целое, что неверно. Пусть u=1, тогда x=9, y=4.
Ответ: {x1=3, {x2=3, {x3=-3, {x4=-3,
{y1=2, {y2=-2, {y3=2, {y4=-2 .
3 Решить в целых числах уравнение x+y-3xy=2.
Решение.
Если x и y оба нечётны или одно из них нечётно, то левая часть уравнения есть нечётное число, а правая-чётное. Если же x=2m и y=2n, то 8m+8n-12mn=2, т.е. 2(2m+2n-3mn)=1, что невозможно ни при каких целых m и n.
4 Доказать, что уравнение 2x+5y=7 не имеет решений в целых числах.
Доказательство.
Из уравнения видно, что y должен быть нечётным числом. Положив y=2z+1, получим 2x-20z-20z-5=7, или x-10z-10z=6, откуда следует что x есть чётное число. Положим x=2u. Тогда 2u-5z(z=1)=3, что невозможно, так как z(z+1) есть чётное число.
5 Доказать, что при любом целом положительном значении а уравнение x+y=а разрешимо в целых числах.
Доказательство.
Положим x+y=а, x-y=а, откуда x=a(a+1)/2 и y=a(a-1)/2. Поскольку при любом целом значении а в числителе каждой из данных дробей стоит произведение чётного и нечётного чисел, определённые таким образом x и y представляют сорбой целые числа и удовлетворяют исходному уравнению.
6 Решите в целых числах уравнение (x+1)(x+10=y.
Решение.
Непосредственно видим, что пары чисел (0;1) и (-1;0) являются решениями уравнения. Других решений нет, так как
x<(x+1)(x+1)<(x+1)(x+1)=(x+1) , то (x+1)(x+1)?y
ни для какого целого y (распологающегося между кубами последовательных целых чисел).
Список литературы:
1.И.М. Виноградов Математическая энциклопедия
2.Н.Я. Виленкин,Л.П. Шибасов,З.Ф. Шибасова За страницами учебника математики
3.А. П. Савин Энциклопедический словарь юного математика
4.И. Кушнир Математическая энциклопедия