Динамика вращения твердого тела на примере диска и шара радиусом R
Курсовой проект - Физика
Другие курсовые по предмету Физика
°мика вращение инерция шар диск
Глава 1. Динамика вращения твёрдого тела
Рассмотрим вращательное движение твердого тела относительно неподвижной и проходящей через него оси. Разобьем это тело на множество элементарных частей, масса каждой из которых равна ?mi и радиус вращения равен ri. Кинетическая энергия i-ой частицы равна:
(1.1)
Кинетические энергии различных частиц различны, так как различны их линейные скорости. Чтобы рассчитать полную энергию вращательного движения твердого тела, необходимо просуммировать энергии всех его элементов:
(1.2)
или
(1.3)
Поскольку угловая скорость ? одинакова для всех элементов тела, ее можно вынести за знак суммы:
(1.4)
Величина I называется моментом инерции твердого тела. Момент инерции твердого тела равен сумме моментов инерции частиц, составляющих это тело. Тогда формула для кинетической энергии вращательного движения твердого тела примет вид:
1.1 Теорема Гюйгенса-Штейнера
(1.5)
Согласно теореме Штейнера, момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс и параллельной данной оси, плюс произведение массы тела на квадрат расстояния между осями:
; (1.6)
Где
d -расстояние между осями;
- момент инерции тела относительно оси, проходящий через центр масс, который определяется:
; (1.7)
Так как ?=R, то момент инерции относительно оси проходящей через т. А определяется:
(1.8)
1.2 Момент инерции диска
Дифференциал массы равен моменту инерции этого кольца:
(1.9)
Рис. 1.1
Тогда масса кольца определяется:
(1.10)
Дифференциал момента инерции равен моменту инерции этого кольца:
(1.11)
Отсюда следует:
(1.12)
Момент инерции диска равен:
(1.13)
1.3 Момент инерции шара
Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh, перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
(1.14)
Рис. 1.2
Масса и момент инерции такого диска составят
(1.15)
(1.16 )
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
(1.17)
Глава 2. Определение момента инерции шара и диска
.1 Момент инерции шара
Дан шар, радиусом R. Найти момент инерции шара, произвольной массой.
Дано:
Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.1) :
Зависимость момента инерции шара от массы и радиуса
м,кгR,мJ,110,4223,23310,84425,65550Таб. (2.1.)
Вывод: из формулы (2.1.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса.
2.2 Момент инерции диска
Дан диск произвольной массой и радиусом. Найти момент инерции диска.
Дано:
Произведём подстановку числовых значений и получили таблицу (2.2) :
Зависимость момента инерции диска от массы и радиуса
m(кг)R(м)J()110,52283313.544325562.5Таб.(2.2.)
Вывод: из формулы (2.2.) видно, что момент инерции шара пропорционален произведению массы шара на квадрат его радиуса, деленному пополам.
Вывод
Из проведённой работы стало видно, что момент инерции всегда зависит от массы тела и его геометрических характеристик, в частности радиуса. По полученным результатам ( таблица 2.1 и таблица 2.2) построим графическую зависимость :
Рис. 2.1.
На основании рис.3.1. можно сделать вывод, что момент инерции диска больше чем шара при одинаковых характеристиках .
Cписок использованной литературы
1. Савельев И.В. Курс общей физики
. Трофимова Т.И. Курс физики
. Яворский Б.М., Пинтов А.А. Основы физики
. Волькенштейн Сборник задач по общему курсу физики
5. Чертов А.Г. Задачник по физике
. А.А. Пинский Задачи по физике
">7.
">.