Гравитационное поле плоского слоя
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
Гравитационное поле плоского слоя
В. В. Орлёнок, доктор геолого-минералогических наук
Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним. Пусть плотность слоя = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z. Найдем потенциал элемента массы dm этого диска VА и притяжения g, которое он создает в точке А:
; ;
, (V.27)
где , т.е.
. (V.28)
Для определения притяжения всей массой диска нужно полученное выражение для элемента массы dm (V.28) проинтегрировать по всему объему диска:
. (V.29)
Возьмем интегралы по отдельности:
;
;
.
Отсюда gслоя будет равно:
. (V.30)
Представим
. (V.31)
Подставим (V.31) в (V.30):
(V.32)
Проанализируем полученное выражение.
1) Если слой имеет бесконечно большие размеры в сравнении с расстоянием z до точки А, то , тогда
, (V.33)
где толщина слоя.
2) Если точка А лежит на слое, т.е. z1 = 0, z2 = H, тогда
,
или
. (V.34)
Это уже известная нам редукция Буге. Следовательно, притяжение плоского слоя не зависит от высоты наблюдения z, а зависит от толщины слоя H.
Список литературы
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта