Вычисление вероятности
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
?тность вероятности величины равна:
8. Задача 8. Двумерный случайный вектор равномерно распределен внутри области В. Двумерная плотность вероятности о любой точке этой области В:
Вычислить коэффициент корреляции между величинами и .
Решение.
Построим область
Найдем значение константы . Воспользуемся свойством функции
Поскольку принимает отличные от нуля значения внутри области , то получим
= .
Следовательно, . Значит,
Значение коэффициента корреляции вычислим по формуле
Корреляционный момент вычислим по формуле
.
.
.
.
Определим корреляционный момент
Ответ:
9. Задача 9. По выборке одномерной случайной величины
- Получить вариационный ряд;
- Построить гистограмму равноинтервальным способом;
- Построить гистограмму равновероятностным способом;
- Вычислить оценки математического ожидания и дисперсии;
- Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия
и критерия Колмогорова ()
0,220,420,071,690,420,941,812,240,740,750,802,590,550,430,510,381,410,730,030,960,630,170,100,091,091,522,970,911,530,551,231,270,751,550,880,570,311,041,711,391,160,861,130,822,021,170,250,640,070,111,990,712,170,232,681,821,190,051,234,700,370,401,310,200,502,480,321,410,231,270,331,480,520,680,300,400,241,520,170,170,831,200,650,051,450,230,370,093,660,280,770,111,950,100,950,654,063,160,512,02
Решение.
Найдем размах вариации . 0,03; 4,70;
4,700,03 = 4,67.
Вариационный ряд распределения имеет вид:
0,0310,8610,0520,8810,0720,9110,0920,9410,120,9510,1120,9610,1731,0410,211,0910,2211,1310,2331,1610,2411,1710,2511,1910,2811,210,311,2320,3111,2720,3211,3110,3311,3910,3721,4120,3811,4510,421,4810,4221,5220,4311,5310,511,5510,5121,6910,5211,7110,5521,8110,5711,8210,6311,9510,6411,9910,6522,0220,6812,1710,7112,2410,7312,4810,7412,5910,7522,6810,7712,9710,813,1610,8213,6610,8314,0614,71
Построим гистограмму равноинтервальным способом. Число интервалов рассчитаем по формуле . Длина частичного интервала вычисляется по формуле
.
Полученные значения запишем в таблицу
№10,030,4970,467340,340,7320,4970,9640,467270,270,5830,9641,4310,467150,150,3241,4311,8980,467100,10,2151,8982,3650,46760,060,1362,3652,8320,46730,030,0672,8323,2990,46720,020,0483,2993,7660,46710,010,0293,7664,2330,46710,010,02104,2334,70,46710,010,02
Равноинтервальная гистограмма имеет вид:
Построим гистограмму равновероятностным способом.
№10,030,170,14100,10,714320,170,250,08100,11,250030,250,420,17100,10,588240,420,570,15100,10,666750,570,770,2100,10,500060,770,960,19100,10,526370,961,270,31100,10,322681,271,530,26100,10,384691,532,170,64100,10,1563102,174,72,53100,10,0395
Равновероятностная гистограмма имеет вид:
Оценку математического ожидания вычислим по формуле
1,00.
Оценку дисперсии вычислим по формуле:
, 0,82,
Построим доверительный интервал для математического ожидания при неизвестной дисперсии:
В нашем случае
1,00, 0,82, , , .
;
Доверительный интервал для математического ожидания .
Доверительный интервал для дисперсии
, =1,96 ().
По виду равноинтервальной гистограммы выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина X распределена по показательному закону:
H0 :
H1 :
Определим оценку неизвестного параметра
Предполагаемый закон распределения . Найдем вероятности попадания в каждый из интервалов
Теоретические частоты найдем по формуле
№Интервалы
[xi; xi+1)10,030,4970,3636,00-2,004,000,111120,4970,9640,2323,004,0016,000,695730,9641,4310,1414,001,001,000,071441,4311,8980,099,001,001,000,111151,8982,3650,066,000,000,000,000062,3652,8320,044,00-1,001,000,250072,8323,2990,022,000,000,000,000083,2993,7660,011,000,000,000,000093,7664,2330,011,000,000,000,0000104,2334,70,011,000,000,000,0000НАБЛ=1,24
Число степеней свободы определяют по формуле . По таблице критерия Пирсона находим: . Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о показательном распределении. Проверим гипотезу о показательном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Теоретическая функция распределения F0(x) показательного закона равна
Проверим гипотезу о нормальном распределении с помощью -критерия Колмогорова. Все вспомогательные расчеты сведем в таблицу.
№Интервалы
[xi; xi+1)частота в интервале
1-2,9517340,340,360,022-2,51310270,610,590,023-2,0758150,760,730,034-1,63712100,860,820,045-1,1991460,920,880,046-0,7611130,950,910,047-0,323920,970,930,0480,115410,980,950,0390,5531610,990,960,03100,991911,000,970,03; .
То таблице квантилей распределения Колмогорова по уровню значимости находим критическое значение .
Так как , то нет оснований отвергать гипотезу о нормальном распределении.
10. Задача 10. По выборке двумерной случайной величины
- Вычислить оценку коэффициента корреляции;
- Вычислить параметры линии регрессии
и ;
- Построить диаграмму рассеивания и линию регрессии;
Решение
Найдем числовые характеристики величин и .
0,88; 0,10.
1,59; .
1,76; .
Корреляционный момент равен:
0,23
Найдем уравнения регрессии
где ;
Уравнение регрессии имеет вид:
.
Коэффициент корреляции равен:
.
Найдем интервальную оценку.
.
,
Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости .
Проверим нулевую гипотезу : о равенстве нулю генерального коэффициента корреляции, при конкурирующей гипотезе .
.
По таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню и числу степеней свободы найдем критическую точку двусторонней критичес