Высшая математика
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
у всех элементарных исходов:
P1==?0,62
б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: ====276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: ===4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно =2764=1104
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходов p2==?0,34
Ответ: а) p1 =0,62; б) р2 =0,34.
ЗАДАЧА 4.
Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?
Решение: Обозначим через А событие - лампочка окажется бракованной. Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H1-лампочка поступила с первого завода, H2-лампочка поступила со второго завода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H1)==0,25; p(H2)==0,75.
Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом p(A/H1)==0,05, вторым заводом - p(A/H2)==0,10 искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности
р(А) = P(H1) p(A/H1)+P(H2)(A/H2)=0,250,05+0,750,10=0,0125+0,075=0.0875
Ответ: р(А) = 0,0875.
Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 13, глава 7 1-2, глава 8 J3.
ЗАДАЧА 5.
Задан закон распределения дискретной случайной величены X:
X
-4
-2
0
2
4
6
8
p
0,05
p
0,12
0,23
0,32
0,14
0,04
Найти:
а)неизвестную вероятность р.
б)математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение ? данной случайной величены;
Решение:
а)так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение
0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.
Отсюда р+0,9 = 1 и р=0,1.
б)Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:
М = (-4)0,05+(-2)0,1 + 00,12 + 20,23 + 40,32 + 60,14 + +80,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.
Дисперсия D=?(x1)2p1-M2=
=(-4)0.05+(-2)20,1+020,12+220,23+420,32+620,14+820,04-(2,5)2=
=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59
Среднее квадратическое отклонение ? = = ?2,9
ЗАДАЧА 6.
Построить выпуклый многоугольник, заданный системой неравенств
x1-x2 ? 2;
x1-3x2 ? 10,
x1+2 x2 ?4,
x1 ?8,
x2?0.
Пользуясь геометрической интерпретацией основной задачи линейного программирования, найти минимум и максимум линейной формы
L=2x1+x2
Решение. Построим прямоугольную систему координат x1Ox2. Если в этой системе построить прямую ax1 + bx2 = c, то она разобьет плоскость x1Ох2 на две полуплоскости, каждая из которых лежит но одну сторону от прямой. Сама прямая в этом случае называется граничной и принадлежит обеим полуплоскостям. Координаты точек, лежащих в одной полуплоскости, удовлетворяют неравенству ах1+bx2?c, а координаты точек, лежащих в другой полуплоскости, неравенству. ах1+bx2?c. Построим в плоскости x1Ox2 граничные прямые x1-x2=-2(AB), x1-3x2=-10(BC), x1+2 x2=4(AE), x1=8(CD) и x2=0(ED).
В результате получим пятиугольник ABCDE (рис. 12). Значения x1 и x2, удовлетворяющие системе неравенств (1), являются координатами точек, лежащих внутри или на границе найденного пятиугольника.
x2
E
D х1
0
Рис. 1
Теперь задача сводится к тому, чтобы найти те значения x1 и x2, при которых линейная форма, L (2) имеет минимум, и те значения x1 и х2, при которых линейная форма L достигает максимума. Из рис. 1 видно, что координаты всех точек, лежащих внутри или на границе пятиугольника, не являются отрицательными, т. е. все значения x1 и х2 больше или равны нулю. Для каждой точки плоскости x1Ox2 линейная форма L принимает фиксированное значение. Множество точек, при которых линейная форма L принимает значение L1, есть прямая 2x1+х2=L1(l1), которая перпендикулярна вектору N = 2i+j. Если прямую l1 передвигать параллельно самой себе в положительном направлении вектора N, то линейная форма L будет возрастать, а если прямую передвигать в противоположном направлении убывать. Построим прямую (l1) для того случая, когда L = 0, т.е. построим прямую 2x1+х2=0. Как видно из рис. 1 , при передвижении прямой l1 в положительном направлении вектора N она впервые встретится с вершиной А построенного пятиугольника ABCDE. В этой вершине линейная форма L имеет минимум. С