Влияние внешнего поля скоростей на распространение ландшафтного пожара
Курсовой проект - Безопасность жизнедеятельности
Другие курсовые по предмету Безопасность жизнедеятельности
?зации лагранжева этапа.
Метод Харлоу в газовой динамике
В координатной плоскости (х,у) введем эйлерову сетку узлов , образованную центрами декартовых ячеек со сторонами h1и h2. Сеточную область течения обозначим через . При этом номера ячеек и индексы сеточных функций определяются индексами ячейки.
Эйлеров этап
К началу этапа на n-м временном слое, т.е. в момент времени tn, для всех ячеек (i, к) известны величины Этап реализуется с помощью конечно-разностных схем. В работах [21], [9] приведены различные схемы для первого этапа метода частиц с описанием их свойств. Рассмотрим одну из этих схем. Как видно из первого уравнения системы (18), плотность газа на эйлеровом этапе остается постоянной. Это позволяет преобразовать систему (18) к виду [14]:
(20)
Для этой системы запишем следующую явную по времени схему [14]:
(21)
Здесь введено обозначение для среднего значения скорости на двух временных слоях. Первое соотношение выражает постоянство плотности газа на эйлеровом этапе. Величины с дробными нижними индексами отвечают значениям на границах ячеек и определяются как полу сумма значений соответствующих функций в двух соседних ячейках. Например,
Легко видеть, что схема (21) аппроксимирует уравнения (20) с порядком Здесь второй порядок по h1и h2 получается из-за использования центральных разностей для пространственных производных. Важным свойством схемы (21) является ее консервативность. Это доказывается путем приведения ее к дивергентному виду [14]:
(22)
где
Первые два уравнения системы (22) получаются элементарно из системы (9), а третье уравнение выводится следующим образом.
Лагранжев этап
Систему уравнений (7) второго этапа представим в векторной форме [14]
(23)
где - вектор скорости газа, - вектор решения, компоненты которого есть плотность , плотность импульса и плотность полной энергии (масса, импульс и полная энергия единицы объема газа).
Решение будем искать в виде [14]
(24)
где R(r) - функция ядра, характеризующая форму, размер частицы и распределение в ней плотности переносимых признаков; - текущая координата, - радиус-вектор центра j-й частицы, суммирование производится по всем частицам.
Соответственно [14]
(25)
вектор признаков, переносимых j-й частицей, - ее масса. Так как плотность газа на эйлеровом этапе не меняется, то массы индивидуальных частиц остаются постоянными. В соответствии с формулой (26) предполагаем, что функция удовлетворяет условию нормировки [14]
(26)
Напомним также, что [14]
Подставим (24) в систему (23) и проинтегрируем ее по с финитной гладкой весовой функцией , функция носитель которой компанент . С помощью интегрирования по частям получаем [14]
Так как - произвольная функция, то это равенство выполняется тождественно, если частицы перемещаются в соответствии с уравнениями движения [14]
(27)
В методе Харлоу признаки , переносимые частицами, определяются по сеточным функциям вычисленным на первом этапе. Для этого необходимо задать закон интерполяции с эйлеровой сетки на лагранжеву.
Пусть пересчет с эйлеровой сетки на частицы производится по формулам [14]
(28)
где S(r,р) - некоторая интерполирующая функция, удовлетворяющая условию нормировки, которое в данном случае имеет вид [16]
(29)
Очевидно, что интерполяция на частицы должна сохранять суммарные импульс и энергию жидкости в сеточной области течения на данном временном шаге. Полная масса сохраняется автоматически, так как массы отдельных частиц не изменяются. Для суммирования сеточных функций удобно воспользоваться квадратурными формулами "средних" прямоугольников. Тогда законы сохранения при интерполяции (28) записываются в форме [14]
(30)
После вычисления массивов характеристик частиц (28) рассчитываются новые положения частиц на (n+1)-ом временном слое Для решения уравнений движения (27) чаще всего используется простейшая явная схема [14]
или по компонентно
Этап заканчивается вычислением всех сеточных функций на (n + 1)-oм временном слое. Очевидно, что при перемещении частиц их индивидуальные характеристики сохраняются [16]:
Это соответствует дивергентному характеру системы (23). Для того чтобы лагранжев этап был полностью консервативным, необходимо при обратной интерполяции на эйлерову сетку также выполнить законы сохранения [14]
(31)
где
В соответствии с (24) новые сеточные плотности будем вычислять по формулам [14]
(32)
где сеточное ядро определяется как [16]
(33)
Где - эйлерова ячейка (i,k). При этом выполнение законов сохранения (31) проверяется непосредственно. Действительно, суммируя (20) по, имеем [14]
Здесь переход к интегрированию по , сделан с точностью до погрешности "большой" квадратурной формулы "средних" прямоугольников. При таком построении лагранжев этап оказывается полностью консервативным. Интерполирующую функцию S в (16) можно выбрать например в виде [14]
(34)
Видно, что при этом необходимое условие нормировки (29) для S будет выполняться. Нужно еще отметить, что для интерполяции с эйлеровой сетки на част?/p>