Введение в исследование и дифференциальное исчисление функции одного переменного
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИНСТИТУТ ДИСТАНЦИОННОГО ОБРАЗОВАНИЯ
Специальность Менеджмент организации
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По дисциплине: Высшая математика
На тему: ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Выполнил:
Студент __1__ курса
______1_____ семестр
Шошина Екатерина Анатольевна
№ зачетки- 32091031
Тюмень, 2010
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧЕСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- Вычислить предел
Решение.
При имеем
Следовательно,
- Найти асимптоты функции
Решение.
=
Очевидно, что функция при .
Отсюда получаем, что
Следовательно, - вертикальная асимптота.
Теперь найдем горизонтальные асимптоты.
Следовательно, - горизонтальная асимптота при .
- Определить глобальные экстремумы
при х[1,2]
Найдем производную
Для нахождения локальных экстремумов решим уравнение
,
значит для нахождения глобальных экстремумов наибольшего и наименьшего значения на отрезке надо взять значения функции в концах отрезка. наименьшее наибольшее
- Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции
Найдем производную
Решим уравнение
x01(1,3)3+0+0-0+возрастаетт.перегибавозрастаетmaxубываетminвозрастает
Локальные экстремумы: т. max
т. min
Точка перегиба
Промежутки монотонности:
возрастает при ,
убывает при .
Точка - локальный минимум.
x-2-1012345y-30.4-2.200.2-1.6-5.412.8125
- Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
Решение:
Требуется найти вторую производную
==
Точки перегиба
6x-12=0
x=2
выпуклость вверх (выгнутость)
Выпуклость вниз (выпуклость)
Отсюда следует, что функция выпуклая при ; вогнутая при ; точка перегиба x =2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ
. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
.
Решение.
1) Область определения функции
.
) Функция не является четной или нечетной, так как
.
) Теперь найдем точки пересечения с осями:
а) с оx: , б) с oy .
) Теперь найдем асимптоты.
а)
А значит, является вертикальной асимптотой.
б) Теперь найдем наклонные асимптоты
Отсюда следует, что
является наклонной асимптотой при .
) Теперь найдем критические точки
не существует при .
)
не существует при
x024+0-Не сущ.-0+---Не сущ.+++yвозрастает выпуклаяmax убывает
выпуклаяне сущ.убывает
вогнутаяmin
возрастает
вогнутаяПостроим эскиз графика функции
- Найти локальные экстремумы функции
Решение.
Решим систему
Известно, что необходимым условием существования экстремума является равенство нулю частных производных.
, ,
Две точки подозрительны на экстремум
(0,0), (-1,1)
Для анализа характера экстремума найдем вторые производные
Найдем знаки выражений в подозрительных точках, т.е
и
В точке (0,0) получим 0 и - 9
В точке (-1,1) получим - 6 и - 27
Вывод: в точке (0,0) экстремума нет,
в точке (-1,1) знаки - + это точка максимума
- Определить экстремумы функции
,
если ху=100, х>0, у>0
Решение.
Сначала запишем функцию Лагранжа
.
И исследуем ее
При , ,
При , ,
Т.к. то получаем одну точку (10,10).
Это точка минимума
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО
- 1. Найти неопределенный интеграл
Поэтому сделаем замену y=x-1
Тогда x=y+1, dx=dy
Получим
===
функция интеграл деление асимптота
Сделаем замену
==
=arcsinz+C (табличный интеграл)
=arcsin (возврат к y,x)
= arcsin
2. Найти неопределенный интеграл
Решение:
Сделаем замену , тогда , dx=2ydy
==
Выполним деление с остатком:
на получим , остаток 24
==
Первые два интеграла табличные, в последнем - замена
Y+3=z, y=z-3, dy=dz
==
3. Найти неопределенный интеграл
Решение:
Применим замену
=
Так как , то =
По формуле интегрирования по частям
=
Вычислить
Решение:
Сделаем замену
,
;
=
. Определит?/p>