Язык прораммирования С++
Методическое пособие - Компьютеры, программирование
Другие методички по предмету Компьютеры, программирование
?равнений получается за n шагов.
На шаге номер k:
уравнение номер k делится на коэффициент a[k][k] диагональный элемент матрицы становится равным единице;
потом (для всех i ? k) к уравнению номер i прибавляется уравнение номер k умноженное на минус a[i][k]. В результате в столбце k все коэффициенты, кроме расположенного на диагонали, станут равными нулю (для ручного счета указанные на данном шаге действия выполняются только для значений i>k, но нам удобнее заменить нулями все коэффициенты столбца, кроме одного).
После того, как циклом, изменяющим k от нуля до n-1 выполнится n описанных выше шагов, в каждой строке коэффициенты при всех неизвестных, кроме одного, будут равны нулю это и есть решение.
Проделаем описанные преобразования для заданного уравнения.
Разделим все коэффициенты первой строки на a[0][0]=1.7. Первое уравнение приобретет вид:
x1 + 5.882x2 - 0.7647x3 + 1.235x4 = 1.824
Теперь, чтобы в уравнении 2 получить нулевой коэффициент при x1, все элементы первого уравнения умножаем на a[1][0]=3.1 и отнимаем от второго, получим
0x1 - 16.54 x2 + 0.2706 x3 + 1.571 x4 = 3.553
и так далее.
Программа, реализующая данный алгоритм, оказывается заметно короче его описания:
#include
#include
double a[4][5]={{1.7, 10.0, -1.3, 2.1, 3.1}, //Записали систему уравнений
{1, 1.7, -2.1, 5.4, 2.1},
{3.3, -7.7, 4.4, -5.1, 1.9},
{10.0,-20.1, 20.4, 1.7, 1.8}};
void print (void) //Вывод таблицы коэффициентов оформили в виде функции.
{ for(int i=0;i<4;i++){for(int j=0;j<5;j++)
printf("%8.4lg ",a[i][j]);printf("\n");}
printf("\n");
}
void main (void)
{
clrscr();
print(); //Вывели исходную таблицу
for(int k=0;k<4;k++) //Цикл по числу уравнений
{ double Kf=a[k][k];
for(int j=0;j<5;j++) a[k][j]=a[k][j]/Kf; //Получаем единицу при xk
for(int i=0;i<4;i++)
{ //Во всех уравнениях, кроме k-го делаем коэффициент при xk равным нулю.
Kf=a[i][k];
if(i!=k) for(j=0;j<5;j++) a[i][j]=a[i][j]-a[k][j]*Kf;
}
print();//Вывели таблицу со столбцом из нулей.
}
getch();
}
В приведенной программе делитель a[k][k]; предварительно записывается в отдельную переменную: Kf=a[k][k];.
Объясните, почему нельзя отказаться от использования промежуточной переменной Kf, записав вместо оператора a[k][j]=a[k][j]/Kf; оператор a[k][j]=a[k][j]/ a[k][k];.
Далее показаны результаты вывода на экран.
Исходная таблица
1.7 10 -1.3 2.1 3.1
3.1 1.7 -2.1 5.4 2.1
3.3 -7.7 4.4 -5.1 1.9
10 -20.1 20.4 1.7 1.8
Результат обработки при k=0 (сравните с ручным счетом)
1 5.882 -0.7647 1.235 1.824
0 -16.54 0.2706 1.571 -3.553
0 -27.11 6.924 -9.176 -4.118
0 -78.92 28.05 -10.65 -16.44
Результат обработки при k=1
1 0 -0.6684 1.794 0.5596
-0 1 -0.01636 -0.09498 0.2149
0 0 6.48 -11.75 1.708
0 0 26.76 -18.15 0.523
Результат обработки при k=2
1 0 0 0.5818 0.7358
0 1 0 -0.1247 0.2192
0 0 1 -1.814 0.2636
0 0 0 30.37 -6.529
Результат обработки при k=3
1 0 0 0 0.8608
0 1 0 0 0.1924
0 0 1 0 -0.1263
0 0 0 1 -0.215
Проверьте, что подстановка в уравнения значений x0=0.8608, x1=0.1924,
x2=-0.1263, x3=-0. 215 дает тождества.
Самостоятельно измените функцию печати так, чтобы вместо таблиц на экран выводились уравнения (со знаками действий и обозначениями неизвестных).
Заметим, что программа завершится аварийно, если в исходной системе на главной диагонали будет нулевой элемент.
Чтобы этого не случилось можно переставить уравнения местами.
Пример программы, реализующей модификацию данного алгоритма нечувствительную к нулевым элементам (метод Жордана-Гаусса находится на диске в папке JrdGauss, в тексте учебника мы его разберем при знакомстве с оконным интерфейсом ОС Windows).