Экстремумы функций
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
т
aik Ei Ek>m
Действительно, эта сумма представляет собой непрерывную функцию от аргументов Ei во всем пространстве,в частности же и в множестве М тех точек(E1,тАж, En), которые удовлетворяют соотношению (5.8) (сферическая поверхность). Но множество это, как нетрудно видеть, замкнуто, т. е. содержит все свои точки сгущения ; а тогда, по теореме Вейерштрасса, названная сумма будет иметь в М наименьшее значение , необходимо положительное (как и все ее значения в М).
С другой стороны, ввиду (5.3) вторая сумма в (5.7) для достаточно малых ,очевидно, будет по абсолютной величине уже меньше m, так что вся скобка окажется положительной. Итак, в достаточно малой сфере, iентром в точке (x10,x20,тАж,xn0) разность будет положительна, откуда и явствует, что в названной точке функция f(x1,x2,тАж,xn) имеет собственный минимум.
Аналогично иiерпывается и случай, когда форма (5.6) будет определенной, но отрицательной.
Для того, чтобы квадратичная форма (5.6) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
a11 a12 a11 a12 a13 a11 a12тАж a1n
a11<0, a21 a22 , a21 a22 a23 <0,тАж,(-1)n a21 a22тАж a2n
a31 a32 a33 тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж
an1 an2тАж ann
5.3.Метод вычисления критериев Сильвестера.
Применение критерия Сильвестера для определения экстремума функции многих переменных требует вычисления определителей порядка. Рассмотрим один из возможных методов диагонализации матриц и соответственно получения треугольных определителей.Метод основан на последовательном понижении порядка определителя. При этом :
1.На каждом этапе понижения порядка определителя, удобная для применения вычислительной техники.
2.Получаемые в результате диагональные элементыопределителей являются элементами критерия Сильвестера и позволяют, так сказать, в ходе вычисления вести контроль знакоопределенности квадратичной формы.
В основу алгоритма вычислений положины два свойства определителей.
1.Известно, что
a11 a12
a21 a22
Впредь замена любого определителя второго порядка элементом a11 назовем сверткой определителя.
2.Определитель порядка не изменится, если элементы какой-либо строки умножить (разделить) на какое-либо число, не равное нулю, и сложить (вычесть) с элементами другой строки.
Итак, рассмотрим определитель n-го порядка, составленный из вторых частных производных некоторой функции n переменных f(x1,x2,тАж,xn).
Положим aik= fxixk .Имеем
a11 a12тАж a1n
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (5.9)
an1 an2тАж ann
Умножим в (5.9) элементы первой строки на a21/ a11 и вычтем их из элементов второй строки.
Умножим в (5.9) элементы первой строки на a31/ a11и вычтем их из элементов третьей строки. тАж
Умножим в (5.9) элементы первой строки на an1/ a11 и вычтем их из элементов последней строки.
Выполнив последовательно эти операции, получим
a11 a12 тАж a1n
0 a22- a12 a21/ a11тАж a2n -a1n an1/ a11
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (5.10)
0 an2- a12 an1/ a11тАж ann- a1n an1/ a11
Умножим каждую строку в (5.10), начиная со второй на a11,при этом определитель (5.10) умножится на a11n-2
1
----------- (5.11)
a11n-2
где
a11 a22- a12 a21 a11 a23- a13 a21 тАж a11 a2n- a1n a21
a11 a32- a12 a31 a11 a33- a13 a31 тАж a11 a13n- a1n a31
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (5.12)
a11 an2- a12 an1 a11 an3- a13 an1 тАж a11 ann- a1n an1
Рассмотрим более внимательно элементы (5.12). Перепишем (5.12) в виде
a11 a12 тАж a1n-1
a21 a22 тАж a2n-1
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж (5.13)
an-11 an-12тАж an-1n-1
Из сравнения (5.12) и(5.13) видно, что
a11 есть свертка определителя a11 a12
a21 a22
a12 есть свертка определителя a11 a13
a21 a23
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..
a1n-1 есть свертка определителя a11 a1n
a21 a2n
.
Таким образом, первая строка 1n-1 является сверткой элементов первых двух строк определителя n. Более наглядно это можно сфрмклировать так : последовательно каждый прямоугольник элементов первой и второй строк заменяется его сверткой ; причем первые элементы двух строк участвуют во всех прямоугольниках этих строк.
a11 a12 a13тАж a1n
a11 a12 a1n-1
a21 a22 a23тАж a2n
Аналогично вторая строка определителя n-1 является сверткой элементов первой и третьей строк исходного определителя.
a11 a12 a13тАж a1n
a21 a22 a2n-1
a31 a32 a33тАж a3n
Наконец для последней строки n-1 имеем
a11 a12 a13тАж a1n
an-1 1 an-1 2 an-1n-1
an1 an2 an3тАж ann
Если теперь применить те же опервции к определителю n-1, т. е. к (5.13), получим
1
a11n-3 (5.14)
где
a11 a12 тАж a1 n-2
a21 a22 тАж a2 n-2
тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..
an-2 1 an-2 2тАж an-2 n-2
а элементы aik являются сверткой соответствующих определителей прямоугольников.
Очевидно, повторяя эту операцию n1 раз, получим следу