Чисельне інтегрування та наближення функцій поліномами вищого порядку
Контрольная работа - Компьютеры, программирование
Другие контрольные работы по предмету Компьютеры, программирование
Міністерство освіти і науки України
Житомирський державний технологічний університет
Кафедра ТМ та КТС
Група ЗІМ 03-1т
Курсова робота
з інформатики
на тему: Чисельне інтегрування. НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ПОЛІНОМАМИ ВИЩОГО ПОРЯДКУ
Житомир
Зміст
Завдання № 1. Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Завдання № 2. Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Завдання № 3,4. Наближення функцій поліномами вищого порядку
Завдання № 5. Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Завдання № 1
Чисельне інтегрування. Формула трапецій та формула Сімпсона
Розрахувати за допомогою формул трапецій та Сімпсона значення інтегралу від функції y=f(x)= a0+a1x+a2x2+a3x3+a 4x4+a5x5 з точністю до пятого знака. Визначити похибки розрахунків для різних значень n e8 та e4
Вихідні дані:
Варіантa0a1a2a3a4a5210.90.80.70.52.3
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
Визначений інтеграл чисельно рівний площі криволінійної трапеції, яка описується кривою y = f(x), віссю х та двома прямими, паралельними осі ординат x = a, x = b. Тому знаходження розвязку інтеграла є визначення відповідної площі.
Розібємо відрізок [a, b] = [0, 1] на n=16 рівних елементарних трапецій із площами s. Величину D, що дорівнює основі кожної із елементарних трапецій, позначимо буквою h і називатимемо кроком квадратурної формули, який визначається з формули
Таким чином, шукана формула трапецій має вигляд
де cj = 1,2,2,2,….2,1.
Для формули парабол (Сімпсона) замість двох прямолінійних трапецій розглядається одна трапеція, яка обмежена параболічною дугою
Елементарна площа визначається інтегралом
Враховуючи, що
Отримаємо формулу парабол (Сімпсона)
де cj = 1, 4, 2, 4, 2,…..2, 4, 1.
У формулі трапецій n є довільним числом, у формулі Сімпсона воно повинно бути парним.
Завдання № 2
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона
Визначити всі дійсні корені поліному P(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3 за допомогою методів Ньютона (дотичних) та методу „січних”. Результати розрахунків звести у таблицю.
Вихідні дані:
Варіантa0a1a2a321,3-7-4-4
Реалізація у MS Excel:
Хід виконання:
1. Будуємо графік заданої функції та визначаємо з нього приблизне значення кореня х0 ? 0,17
2. Проводимо уточнення коренів за методом Ньютона та січних з точністю e=10-5 .
В розрахунках наближене значення похідної знаходиться за формулою:
При уточненні коренів рівняння методом Ньютона користуємось наступними формулами:
Чергове k-е наближення:
В якості малої величини беремо задану точність обчислень , тоді розрахункова формула має вигляд:
При уточненні коренів рівняння методом січних користуємось наступними формулами:
Для першого наближення:
Для подальших наближень:
Завдання № 3,4
Наближення функцій поліномами вищого порядку
Функція y=f(x) задана таблицею значень у точках . Використовуючи метод найменших квадратів (МНК), знайти многочлен найменшого середньоквадратичного наближення оптимальної степені m=m*. За оптимальне значення m* прийняти ту степінь многочлена, починаючи з якої величина стабілізується або починає зростати.
Вихідні дані:
Варіант 2x00,3750,5630,751,1251,3131,51,6901,8752,0632,252,4382,6252,8133y4.5683,3652,8102,6240,6740,5570,384-0,556-1,44-1,696-1,91-2,819-3,625-3,941-4,367
Хід виконання:
1. Задаємо вектори x та y вихідних даних.
2. Використовуючи метод найменших квадратів, знаходимо многочлени Pm, m = 0,1,2... Розраховуємо відповідні їм значення .
3. Будуємо гістограму залежності від m, на основі якої вибратємо оптимальну степінь m* многочлена найкращого середньоквадратичного наближення.
4. На одному графіку будуємо многочлени Pm, m = 0,1,2,..., m*, і точковий графік вихідної функції.
Реалізація у MS Excel:
Визначаємо матрицю Х як суму відповідних хі у відповідних степенях та уі*хіj
За допомогою отриманих даних, будуємо, для полінома кожної степені, відповідну матрицю Х:
Визначаємо обернені матриці Х-1 до відповідних матриць Х, використовуючи вбудовану функцію Excel МОБР(....).
Визначаємо коефіцієнти відповідних поліномів, для чого визначаємо добуток матриць Х-1 та B, використовуючи вбудовану функцію МУМНОЖ(....).
Використовуючи визначені коефіцієнти поліномів аі, визначаємо значення даних поліномів у кожній точці хі.
Будуємо графік отриманих поліномів та вихідних даних: вихідні дані точковий графік, розрахункові дані лініями різного типу.
Визначаємо величину для кожного полінома та будуємо гістограму:
Вже по побудованій гістограмі можна робити висновки про оптимальність степені полінома для апроксимації вихідних даних (мінімальне значення , але визначимо мінімум за допомогою функції МИН(...) . І по отриманому значенню робимо висновок про оптимальну степінь апроксимуючої функції
Завдання № 5
Метод Ейлера. Модифікації метода Ейлера
Використовуючи метод Ейлера, скласти на відрізку [а, b] таблицю значень інтегралу диференційного рівняння y = f (x, y), що за