Частотний (спектральний) опис детермінованих сигналів
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
косинусні складові і постійна складова:
(7)
а початкові фази всіх гармонік дорівнюють нулеві.
Якщо ж функція є непарною (тобто ), то в цьому разі дорівнюють нулеві постійна складова та всі коефіцієнти та, як випливає з (6), початкові фази всіх гармонік дорівнюють 380.
Ряд Фурє має вигляд:
(8)
Розглянемо приклади визначення спектрів деяких поширених періодичних сигналів.
Періодична послідовність прямокутних імпульсів з амплітудою A та тривалістю , які повторюються з частотою (див. рисунок 14a), причому . При вибраній системі відліку часу функція є парною, тому її спектр складається лише з косинусних складових та постійної складової.
Постійна складова сигналу:
(9)
Амплітуди гармонік дорівнюють амплітудам косинусних складових:
(10)
Отже, ряд Фурє заданого сигналу має вигляд:
(11)
Амплітуди гармонік залежать від величини а їх початкові фази визначає знак функції
Рисунок 2 Періодична послідовність прямокутних імпульсів (а) та її амплітудний (б) і фазовий (в) спектри при співвідношенні
Із виразу (10) бачимо, що амплітуди тих гармонік дорівнюватимуть нулеві, для номерів k яких виконується співвідношення:
. (12)
Для випадку, що його розглядаємо (), із (12) одержуємо:
(13)
тобто четверта, восьма, дванадцята і т.д. гармоніки матимуть нульову амплітуду.
Сусідні спектральні лінії розділені на осі частот інтервалом, який дорівнює , про що згадано раніше. Із виразу (9) бачимо, що постійна складова сигналу при малих співвідношеннях значно менша від амплітуди A імпульсу. Теоретично кількість гармонік у спектрі даного сигналу є нескінченно велика. Проте при практичних розрахунках для спрощення аналізу можна не враховувати тих гармонік, амплітуди яких значно менші від амплітуд інших гармонік. У разі послідовності прямокутних імпульсів звичайно враховують лише гармоніки, які займають діапазон частот від ? = 0 до частоти, яка відповідає першому нулеві амплітудної діаграми. Далі буде показано, що саме ці гармоніки містять 38 % енергії сигналу. У випадку дуже малих співвідношень , що трапляється, наприклад, у радіолокаційній техніці, де = 1/200...1/2500, амплітуди сусідніх гармонік стають дуже близькими за величиною. Це видно з формули (10), яку при співвідношеннях можна наближено записати :
(14)
Це означає, що амплітуди гармонік практично не залежать від номера гармоніки і тому при аналізі треба враховувати велику кількість гармонік.
Періодичний сигнал пилкоподібної форми з періодом та амплітудою A (див. рис.2).
B інтервалі функція непарна, тому її спектр складається лише з синусних складових, амплітуди яких визначаємо на підставі формули (4):
(15)
Ряд Фурє даного коливання має вигляд:
(16)
Із (15) видно, що амплітуди гармонік зменшуються прямопропорційно номерові k гармоніки, початкові фази всіх непарних гармонік дорівнюють 38, а парних гармонік + 38.
2 Комплексна форма опису ряду Фурє
Поряд із тригонометричною формою запису ряду Фурє часто використовують компактнішу комплексну форму, до якої можна перейти від (1 а,б), використавши формулу Ейлера:
. (17)
Рисунок 3 Періодичний сигнал пилкоподібної форми (а) та його амплітудний (б) і фазовий (в) спектри
Справді, з урахуванням (17) записуємо:
(18)
Величину
(19)
прийнято називати комплексною амплітудою k-ої гармоніки. Вона несе інформацію про амплітуду та початкову фазу даної гармоніки.
Величину: називають комплексно спряженою з величиною.
Тепер вирази (1a,б) можна записати так:
(20)
Отриманий вираз є комплексною формою запису ряду Фурє. У виразі (20) додавання ведеться як за додатними, так і за відємними значеннями k. Це означає, що в комплексний ряд Фурє входять гармоніки з додатними і відємними частотами. Відємні частоти не мають фізичного сенсу. Вони зявляються як результат формального подання дійсної функції часу з допомогою комплексної форми.
Комплексні амплітуди можна визначити на підставі функції за формулою:
(21)
Ha підставі (21) знаходимо взаємозвязок між величинами та Ck і Sk, які описуємо виразами (3), (4):
. (22)
Зауважимо, що для відємних значень Для де A0 визначаємо виразом (2).
Формули (20) та (21) називають парою перетворень Фурє. Перша формула дає змогу визначити сигнал, якщо відомий його спектр, друга визначити спектр сигналу, якщо задана функція , яка описує сигнал.
3 Спектральний опис імпульсних сигналів
Приймемо, що заданий сигнал має форму одинокого імпульсу (див. рис. (16а), який відрізняється від нуля на інтервалі .
Крім того, функція задовольняє умови Діріхле в будь-якому скінченному інтервалі і є абсолютно інтегрованою, тобто
Для проведення спектрального аналізу даного сигналу вчинимо так: перетворимо задану неперіодичну функцію у періодичну повторенням її з довільним періодом (рис. 16б). Отриману періодичну функцію можна розкласти в ряд Фурє, причому коефіцієнти ряду Фурє будуть тим менші, чим більший буде вибрано інтервал як період. Це випливає з виразів (2)(4). Якщо період збільшувати до нескінченності, то всі імпульси, крім первинного, відсунуться у нескінченність і залишиться лише первинний і?/p>