Geum.ru


Формирование понятия комплексного числа в курсе математики средней школы

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика




ю форму комплексного числа; геометрическую интерпретацию комплексного числа; модуль комплексного числа и основные соотношения, связанные с ним.

Пусть точка А соответствует комплексному

числу z=a+bi. Тогда длина вектора ОА называется

модулем числа z, а радианная мера угла,

образованного этим вектором с

положительным направлением действительной оси, - аргументом комплексного числа Z. Причем величина угла iитается положительной, если отiет ведется против часовой стрелки, и отрицательной, если отiет производится по часовой стрелке. Модуль обозначается /z/ = r, а аргумент - argz = j (см. рис. 2).

Для числа z=0 аргумент не определяется, но в этом и только в этом случае число задается только своим модулем. Если комплексное число является действительным, то соответствующий ему вектор расположен на действительной оси, и понятие /z/ совпадает с известным понятием модуля действительного числа.

Заданием модуля и аргумента комплексное число определяется однозначно. Но аргумент комплексного числа, в отличие от модуля, определяется не однозначно. Любые два аргумента комплексного числа отличаются друг от друга слагаемым, кратным 2p.

На рис. 2 мы видим, что sin j = b/r, а cos j =a/r, отсюда а=r cos j и b=r sin j, где r =a2 + b2, т.о. действительная и мнимая части комплексного числа z=a+bi выражаются через его модуль /z/=r и аргумент j. Следовательно, комплексное число z может быть записано в виде z=r cos j + i r sin j=r(cos j+i sin j) - тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Полезно составить с учащимися алгоритм перехода из алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую:

  1. Найти радиус r = a2 + b2
  2. Вычислить tg j1 =|b/a|.
  3. По знакам a и b определить четверть, в которой находится число z.
  4. Найти j, причем, если число находится:

а) в I четверти, то j = j1;

б) во II четверти, то j = p - j1;

в) в III четверти, то j = p + j1;

г) в IV четверти, то j = -j1, или j = 2p -j1.

  1. Записать комплексное число в тригонометрической форме:

z = r (cos j + i sin j).

Или, чтобы не производить лишних вычислений, для того чтобы найти значение для j по известным значениям sin j и cos j, заполним таблицу и будем ею пользоваться:

j0p 6p 4p 3p 2p5p 63p 42p 33p 24p 34p 47p 65p 37p 411p 62psinj01 22 23 2 10 1 22 23 2 -1-3 2-2 2-1 2-3 2-2 2-1 20cosj13 22 2 1 20-1-3 2-2 2- 1 20-1 2-2 2-3 21 22 23 21Переход от тригонометрической формы комплексного числа к алгебраической производится подстановкой в выражение z=r (cos j + i sin j) числовых значений cos j и sin j, затем раскрываются скобки и производятся упрощения.

Например: 1) z = 1+i /z/ r = 12+12 =2

sinj = 1 =2 cosj = 1 = 2 j = 450

2 2 2 2

т.о z = a + bi = 1 + i = 2 (cos 450+ isin 450 =2 (cos p + sin p)

4 4

  1. z = 6( cosp + isin p) = 6 (-1 + i*0) = 6*-1 = -6 z = -6.

Упражнения:

  1. Представьте в тригонометрической форме комплексные числа:

а) 3-i ; б) 6+6i ; в) -2 ; г) i ; д) -1 - 3 i е) -3 (cos p + isin p

2 2 ; 7 7 ;

ж) sin 48 + cos 48 ; з) 1 + cos 10p + isin 10p

9 9

  1. Представьте в алгебраической форме комплексные числа :

а) z = 2 (cos 225 + isin 225) ; б) z=3 (cos0 + isin 0) ;

в) z = 5(cos p + isin p ; г) z = 2(cos p + isin p

2 2 3 3

  1. Построить комплексные числа? А) z=2 (cos p + isin p )

4 4

б) z = cosp + isin p ; в) z =2 (cos 3p + isin 3p

4 4