Физика как источник теорем дифференциального иiисления
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
м дифференциального иiисления. С одной стороны, введение этих условий вызвано потребностями логики, поскольку каждое из них используется при доказательстве теорем, а невыполнение любого из них приводит к тому, что теоремы перестают быть справедливыми. С другой стороны, мы обнаружили, что эти чисто логические ограничения на функции оказались детерминированы свойствами окружающего нас физического мира.
В рамках данной статьи будем пользоваться следующим определением. Назовем функцию f(x) подобной закону движения тела, если она определена на отрезке [a, b], непрерывна на нем и дифференцируема на интервале (a,b).
Не всякая функция, подобная закону движения тела, может служить законом движения реального физического тела. Двумя простыми примерами являются функции
f(x) = arcsin(x) и f(x) = x , определенные на отрезке [0,1]. Обе они подобны закону движения тела, однако не могут служить законами движения для реального физического тела, поскольку достигают бесконечных скоростей, первая в момент окончания
движения, а вторая даже в момент его начала. Таким образом, между множеством функций, являющихся законами движения, и множеством функций, подобных закону движения, существует отношение включения: первое множество включается во второе. 3. Специальная методика изложения основных теорем дифференциального иiисления
Идея предлагаемой методики проста и естественна. Она состоит в том, чтобы побудить студентов к обоснованному переносу свойств функций из класса законов движения тела на более широкое множество - класс функций, подобных закону движения тела.
1) Как показал эксперимент, большинство студентов понимают, что для закона движения тела существует момент времени t0, для которого справедлива формула (2). Если распространить это утверждение на более широкое множество, то мы можем сформулировать следующую гипотезу. Гипотеза 1 (Лагранж). Если функция f(x) подобна закону движения тела, то существу-
гтАЮ ч f(b)?f(a) ет такое значение аргумента x0 , что / (jc0) = ^-^) .
Нетрудно увидеть в этой гипотезе теорему Лагранжа. Нетрудно также заметить, что преподаватель может использовать дополнительное рассуждение для пояснения естественности рассматриваемой гипотезы. Действительно, в процессе движения скорость варьируется между своим минимальным и максимальным значением. Естественно предположить, что в какой-то момент времени ее значение совпадет со средней скоростью тела.
2) Как показал эксперимент, большинство студентов понимают, что если движущееся тело занимает одно и тоже положение в начальный и конечный моменты времени, то в момент t0 наибольшего удаления s?(t0) = 0. Если распространить это утверждение на более широкое множество, то мы можем сформулировать следующую гипотезу. Гипотеза 2 (Ролль). Если функция f(x) подобна закону движения тела на отрезке [a,b] и f(a) = f(b), то существует такое значение аргумента x0 , что f?(x0) = 0.
Нетрудно увидеть в этой гипотезе теорему Ролля. Нетрудно также заметить, что преподаватель может использовать дополнительное рассуждение для пояснения естественности рассматриваемой гипотезы. Действительно, допустим, что в момент наибольшего
удаления скорость тела больше нуля. Тогда тело, двигаясь по инерции, удалится от начала движения на расстояние, превосходящее расстояние максимального удаления. Очевидно, что последнее невозможно по чисто логическим соображениям. Аналогично отвергается случай отрицательной скорости в момент наибольшего удаления.
3) Выведем критерий постоянства функции из физических соображений. Тот факт, что тело покоится в течение некоторого промежутка времени, можно выразить в одной из двух равносильных форм. Во-первых, можно сказать, что координата тела является константой, а во-вторых, что скорость тела тождественно равна нулю:
s(t) ? const s(0 = 0.
Удалив из рассуждения промежуточные звенья, мы получим, что для любого закона движения тела справедливо утверждение s(0 = const s?(t = 0.
Если распространить полученную эквиваленцию на более широкий класс функций, а именно, на множество функций, подобных закону движения тела, то мы придем к следующей гипотезе.
Гипотеза 3 (Постоянство функции). Функция, подобная закону движения тела, постоянна тогда и только тогда, когда ее производная тождественно равна нулю: f(x) ? const f?(x) ? 0.
4) Если скорость тела положительна, то это означает, что оно движется вперед без остановок, и следовательно, его координата возрастает. Другими словами, получаем, что для любого закона движения тела справедливо утверждение
s?(t) = v(t) > 0 => s(t) возрастает.
Если распространить полученную импликацию на более широкий класс функций, а именно, на множество функций, подобных закону движения тела, то мы придем к следующей гипотезе.
Гипотеза 4 (Достаточное условие монотонности). Если функция подобна закону движения тела и ее производная положительна, то функция возрастает: f?(x) > 0 => f(x) возрастает.
Подобные рассуждения можно было бы провести в отношении других теорем дифференциального иiисления. Многократные проверки показали, что студенты легко справляются с задачей распространения свойств движений на более широкий класс функций и самостоятельно получают в виде гипотез все основные теоремы дифференциального иiисления.
В заключение отметим, что возникновение математических утверждений в виде гипотез отнюдь не заменяет их строгого логического доказательства, даже если в процессе самостоятельного вывода этих утверждений студенты про?/p>