Установка вида сходимости ряда Фурье
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Задача №2
Дана Т - периодическая функция f(t)
Обосновать возможность разложения f(t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t)
Данная функция f(t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:
Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:
Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода
Ряд Фурье сходиться на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f(t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t0 разрыва первого рода функции f(t) сумма ряда Фурье равна
данная функция f(t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.
Признак Ляпунова: Если Т - периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям для
кусочно-непрерывна и интегрируема с квадратом, то ряд Фурье сходиться среднеквадратично к f(t).
Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно вычислить коэффициенты ряда Фурье.
Построить амплитудный и фазовый спектры функции.
Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.
Чтобы определить число гармоник, содержащих в сумме не менее 90% энергии, сначала рассчитаем энергию вносимую каждой гармоникой в отдельности по следующей формуле:
сумма первых 5-и гармоник даёт больше 90%
Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f(t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания f(t).
Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по следующей формуле:
Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f(t), взяв число гармоник, определённых в пункте №5.
Построим исходную функцию и частичную сумму ряда Фурье(90%)
Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f(t).
Построим: квадрат отклонений функции и частичную сумму ряда Фурье.
Задача №3
Для функции, заданной на конечном интервале, построить периодическое продолжение заданным образом.
[0,1] (чётное)
Построим периодическое продолжение. Так как функция четная, то график её будет симметричен относительно оси Оу
Обосновать возможность разложения f(t) в ряд Фурье, установить вид сходимости ряда Фурье к f(t).
Данная функция f(t) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле:
Теорема Дирихле: Если Т - периодическая функция f(t) удовлетворяет условиям Дирихле на каком либо замкнутом интервале длиной Т:
Непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода
Монотонна либо имеет конечное число максимумов и минимумов
Ряд Фурье сходится на всей оси t и сумма ряда Фурье равно f(t) во всех точках непрерывности этой функции в точке t0 разрыва первого рода функции f(t) сумма ряда Фурье равна данная функция f(t) удовлетворяет условиям сходимости в среднем.
Теорема Вейерштрасса: если Т - периодическая функция f(x) на каком-либо замкнутом интервале. Например [-T/2,T/2] удовлетворяет условиям: непрерывности и f(-T/2)=f(T/2), то тригонометрический ряд Фурье сходиться к f(x) равномерно.
Представить заданную функцию тригонометрическим рядом Фурье, предварительно:
б) вычислить коэффициенты ряда Фурье.
Построить амплитудный и фазовый спектры функции.
Определить число гармоник разложения функции в ряд Фурье, содержащих в сумме не менее 90% энергии.
Вычислить среднеквадратичную ошибку между исходной функцией f(t) и частичной суммой Фурье для t, принадлежащих промежутку задания.
Среднеквадратичную ошибку можно вычислить по следующей формуле:
1.Построить графики заданной функции и частичной суммы ряда Фурье для значений t, принадлежащих промежутку задания f(t), взяв число гармоник, определённых в пункте №5.
Построить график квадрата отклонений функции и частичной суммы ряда для t из промежутка задания f(t).
среднеквадратичный фурье гармоник амплитудный