Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат
Статья - Математика и статистика
Другие статьи по предмету Математика и статистика
Уравнения Максвелла для электростатики. Векторные операторы в различных системах координат.
М.И. Векслер, Г.Г. Зегря
Уравнения Максвелла для электростатики имеют вид:
= ? = При этом
(4)В вакууме ? = 1, так что
(5)Потенциал ? считается равным нулю на бесконечности, если не оговорено иное.
Векторные операторы (grad, div, rot), фигурирующие в уравнениях Максвелла, по-разному записываются в различных системах координат:
= (6)(7)(8)
= (9)(10)(11)
? ? = (12)(13)(14)Для цилиндрической и сферической систем выписана лишь радиальная часть соответствующих операторов. Этого достаточно для решения задач, в которых электрические величины зависят только от r.
= (15)Задача. Электрическое поле зависит только от координаты x согласно формуле . Требуется вычислить распределение заряда ?(x) и распределение потенциала ?(x). При нахождении ?(x) принять ?|x = 0 = 0.
Решение: Распределение заряда находится непосредственно из уравнения Максвелла:
? = ? = Для нахождения потенциала ?(x) необходимо интегрирование уравнения (4), причем с обоснованно взятыми пределами, а именно от точки x = x*, в которой ?(x*) = 0 до точки x, в которой ищется потенциал:
В условии сказано, что ?(0) = 0 - это и диктует выбор нижнего предела:
В качестве переменной интегрирования мы используем , чтобы избежать путаницы с x. Теперь мы проводим вычисление и приходим к окончательному ответу:
?(x) = = Задача. В некоторой области распределение потенциала является цилиндрически-симметричным и подчиняется закону ? = ? r5, где r - расстояние от оси. Найти Er(r) и ?(r) для этой области.
Ответ: Er(r) = 5? r4, ?(r) = 25?0? r3
Задача. Потенциал внутри шара зависит от координаты r как ?(r) = ar2+b (a, b - константы). Найти ?(r).
Решение Мы имеем дело со сферической системой и должны работать в ней. Ввиду симметрии, электрическое поле направлено от центра шара (или, вообще говоря, к нему - это зависит от знака a). Поле находим как градиент потенциала:
После этого сразу записывается (у нас ? = 1):
Далее используем уравнение Максвелла для нахождения заряда:
Задача. В цилиндрической системе имеется электрическое поле , ?>0. Выяснить, какому распределению заряда ?(r) и какому потенциалу ?(r) такое поле соответствует.
Ответ: ?(r) = A?0exp(? r)(2? r),
Задача. Проверить, выполняется ли критерий потенциальности () для поля и для поля .
Ответ: Для первого поля - да, для второго - нет.
Список литературы
1. И.Е. Иродов, Задачи по общей физике, 3-е изд., М.: Издательство БИНОМ, 1998. - 448 с.; или 2-е изд., М.: Наука, 1988. - 416 с.
2. В.В. Батыгин, И.Н. Топтыгин, Сборник задач по электродинамике (под ред. М.М. Бредова), 2-е изд., М.: Наука, 1970. - 503 с.
3. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теоретическая физика. т.8 Электродинамика сплошных сред, 2-е изд., М.: Наука, 1992. - 661 с.
Для подготовки данной работы были использованы материалы с сайта