Уравнения линейной регрессии, коэффициент регрессии
Контрольная работа - Экономика
Другие контрольные работы по предмету Экономика
Если дисперсия остатков неодинакова, то имеет место гетероскедастичность.
Если предпосылки не выполняются, то модель нужно уточнять. Применяем тест Голдфельд-Квандта:
- упорядочить (ранжировать) наблюдения по мере возрастания фактора Х.
2) исключить d-средних наблюдений.
,
где n количество наблюдений.
- разделить совокупность на две группы: с малыми и большими значениями Х и для каждой из частей найти уравнение регрессии.
- найти остаточную сумму квадратов отклонений (
) для каждого уравнения регрессии.
- применяют критерий Фишера:
Если , то гетероскедастичность имеет место, то есть пятая предпосылка не выполняется.
XY1722222710227191221212614207152030313
Упорядочим наблюдениям по мере возрастания переменной Х:
XY3137197151022122114201722203021262227
X5=12; Y5=21 и Х6=14; Y6=20 исключаем.
; n=10
xy313912,5170,4830,23337194917,5691,4312,04787154917,569-2,5696,5998102210021,3580,6420,41222769207*-0,0139,2930
n=4
xy172228923,25-1,251,5625203040026,253,7514,0625212644127,25-1,251,5625222748428,25-1,254,5625801051614*018,75
n=4
, так как
, значит, пятая предпосылка выполняется, следовательно, модель нужно адекватна.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента (?=0,05).
;
xy172628924,7181,2821,643513,69222748428,523-1,5232,319575,69102210019,3912,6096,80691,897194917,1081,8923,579739,9122114420,9130,0870,00761,69212644127,762-1,7623,104659,29142019622,435-2,4355,92920,497154917,108-2,1084,443739,69203040027,0012,9998,994044,89313914,064-1,0641,1321106,091332192161*-0,02337,9608392,1
, следовательно, параметр значим.
, следовательно, коэффициент регрессии значим.
Интервальная оценка:
а0: 11,781 2,31*1,617
а0: 11,781 3,735
Нижняя граница: 11,781-3,735=8,046
Верхняя граница: 11,781+3,735=15,516
а0: (8,04615,516), следовательно, параметр а0 значим, так как в эти границы не попадает 0.
а1: 0,761 2,31*0,11
а1: 0,7610,2541
Нижняя граница: 0,761-0,254=0,507
Верхняя граница: 0,761+0,254=1,015
а1: (0,5071,015), следовательно, коэффициент регрессии а1 значим, так как в эти границы не попадает 0.
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера (?=0,05), найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
Для нахождения коэффициента детерминации найдём коэффициент парной корреляции:
Проверяем значимость по критерию Стьюдента:
, следовательно, значим.
=0,926, то есть связь между переменными y и x очень тесная (то есть близко к 1) и прямая (так как больше 0).
Находим коэффициент детерминации:
, то есть 85,8% - изменение объёма выпуска продукции (зависимой переменной y) происходит под влиянием объёма капиталовложений (фактора х, включённого в модель).
Значимость уравнения регрессии по критерию Фишера:
, следовательно, уравнение регрессии значимо, модель адекватна.
Средняя относительная ошибка аппроксимации:
xy172624,7181,2820,0493222728,523-1,5230,0564102219,3912,6090,118671917,1081,8920,0996122120,9130,0870,0041212627,762-1,7620,0678142022,435-2,4350,121871517,108-2,1080,1405203027,0012,9990,100031314,064-1,0640,0818133219*-0,0230,7332
Так как , значит модель не достаточно точная.
F-критерий намного больше табличного значения, коэффициент детерминации очень близок к 1, а относительная ошибка аппроксимации составляет 7,33%. На основании рассчитанных критериев можно сделать вывод о хорошем качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя Y при уровне значимости ?=0,1, если прогнозное значение фактора X составляет 80% от его максимального значения.
- прогноз факторного признака (объема капиталовложений).
- точечный прогноз.
(17,6; 25,2) точка должна лежать на графике модели.
Интервальный прогноз:
25,21,861,81
25,23,37
Нижняя граница: 25,2-3,37=21,83
Верхняя граница: 25,2+3,37=28,57
То есть при уровне значимости =0,1, если прогнозное значение фактора Х составит 80% от его максимального значения или 17,6, точечный прогноз среднего значения Y по линейной модели составит 25,2. Доверительный интервал: 21,8328,57.
7. Представить графически фактические и модельные значения Y точки прогноза рис. 3.
Рис. 3
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:
- Гиперболической;
- Степенной;
- Показательной.
Привести графики построенных уравнений регрессии.
9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод.
Уравнение степенной модели парной регрессии:
Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведём логарифмирование обеих частей уравнения:
Обозначим , , . Тогда уравнение примет вид - линейное уравнение регрессии.
Рассчитаем его параметры (см. приложение).