Уравнения Больцмана, Лиувилля, Боголюбова
Информация - Физика
Другие материалы по предмету Физика
?весного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, важное значение в теории флуктуации и в теории фазовых переходов.
Заметим, наконец, что в определение n-частичных функций Fn(x1, ..., хN, t), так же как и в определение FiN) (х1, ..., xN, t), вероятностный смысл был нами вложен насильственно, и мы по существу получили систему уравнений (7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно не связывая функции Fn с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюда следует, что система уравнений (7) есть система механических, а не статистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как и уравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени замене и не может описывать необратимые макроскопические процессы. Необратимость вносится в формализм теории только определенными гипотезами сугубо вероятностного характера. Запишем в явном виде уравнения для F1 и F2, которыми нам придется заниматься более детально; при этом мы отбросим в множителе (N n)/V, входящем в (7) слагаемое n=1, 2:
, (11)
(12)
где , (13)
(14)
Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация и корреляционные функции. Свободно-молекулярное течение
Рассмотрим некоторые приближенные методы интегрирования системы уравнений Боголюбова. Эти методы основаны на том, что в двух случаях - весьма разреженного газа и при слабом взаимодействии между частицами газа - влияние одной частицы на состояние других частиц должно становиться слабым, и можно сделать пробное допущение о том, что в нулевом приближении n-частичная функция распределения факторизуется, т. е. представляется в виде произведения одночастичных функций
. (15)
Отклонение точной n-частичной функции от факторизованного нулевого приближения принято характеризовать с помощью так называемых корреляционных функций Gn (x1, ..., хп, t), которые находятся по следующей схеме.
Для двухчастичной функции имеем
F2(0) (х1, х2, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t), (16)
F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)
Для трехчастичной функции -
F3(0) (х1, х2,x3, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t) F1 (х3, t), (18)
(19)
и т. д.
Сформулируем теперь количественно условие разреженности газа и условие слабости взаимодействия. Пусть r0 радиус действия межмолекулярных сил и U0 характерная величина потенциальной энергии взаимодействия. Случай разреженного газа осуществляется, если r0 много меньше среднего расстояния между частицами ?1/3, и, следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина . Случай слабого взаимодействия реализуется, если потенциальная энергия мала по сравнению с кинетической энергией ~ Т. Следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина ?= U0/T.
Допустим, что в обоих случаях корреляции между координатами и скоростями частиц являются слабыми и корреляционные функции Gn (x1, ..., хп, t) малыми по параметрам а или ? соответственно.
Для того чтобы построить методы решения системы уравнений Боголюбова в этих предположениях, запишем систему (7) в более детализированном виде
(20)
выделив в операторе слагаемые, содержащие и не содержащие потенциал взаимодействия
(21)
(22)
(23)
Перейдем в уравнениях (20) безразмерным переменным, выбрав в качестве единицы длины r0, скорости , ускорения и времени . Для простоты мы не будем вводить новые обозначения для безразмерных переменных и сделаем в уравнениях (20) замены
,
(24)
Кроме того, учитывая условие нормировки (19) для функци Fn(x1, ..., хN, t), из которого видно, что Fn имеет размерность , введем безразмерную функцию распределения с помощью замены
(25)
Тогда уравнения Боголюбова (20) при запишутся в виде
(26)
Заметим, что, предполагая факторизацию функций Fn в нулевом приближении,
Fn(0) = F1 (х1, t) F1 (х2, t)тАжF1(xn,t), мы получим для одной и той же функции F1 (xi, t) N уравнений. Ясно, что необходимым условием допустимости факторизации является совместность этих уравнений нулевого приближения.
Убедимся, что случай разреженного газа () приводит в нулевом приближении к несамосогласованной системе. Действительно, система уравнений (26) в нулевом приближении выглядит следующим образом:
Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами wik = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а << 1 хорошим кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в бесконечном прошлом.
Рассмотрим случай ? = U0/T <<; 1, , что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, может быть достаточно плотным. Фактически при типичной глубине потенциальной ямы U0~ (10-1 - 10-2) эв U0/T<<1 выполняется уже при комнатных температурах. В этом случае в нулевом приближении получаем незацепляющиеся уравнения
(27)
в которых переменные х1,..., хп разделяются. Это значит, что предположение является самосогласованным и одночастичная функция F1(0)(r, v, t) подчиняется уравнению
(28)
Интегриру