Три задачи по теории чисел
Сочинение - Математика и статистика
Другие сочинения по предмету Математика и статистика
вестны решения уравнения (1) an=b2+cd2 для степени n=2 и n=3 (смотри доказательствоУтверждение1).
n = 2
(2) a2 = b2 + cd2, где
a=?2+c?2
b=?2-c?2 (2) - при этих значениях a, b и c уравнение (2) превращается в d=2?? тождество (?2+c?2)2 ? (?2-c?2)2+c(2??)2 (2).
n=3
(3) a3=b2+cd2,
где
a=?2+c?2
b=?3-3c??2 (3) - при этих значениях a,b и c уравнение (3) превращается в d=3?2?-c?3 тождество (?2+с?2)3 ? (?3-3с??2)2+с(3?2?-с?3)2 (3).
Пример: при ? = ? = 1 и c=2 имеем верное равенство:
(1+21)3 = (1-321)2 + 2(3-21)2 33 ? 52 +212
Напомню, что при нахождении решения уравнения (1) для степени n = 3 мы в доказательстве Утверждения1опирались на тождество (2)
(x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2,
и на решение уравнения (1) второй степени, т.е. степени на единицу меньшую. Аналогичным методом можно найти решение уравнения (1) для других натуральных степеней n.
n=4
Пусть в тождестве (2) (x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2
a = x2+cy2
a3 = u2+c?2 (5)
тогда имеем соотношение (x2+cy2)3 = u2+c?2 (6), которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=3: a3 = b2 + cd2 (3) (см. случай n=3).
Учитывая (3) и (6), получаем:
а = x2+cy2 = ?2+c?2 (7)
u = ?3-3c??2 (7) (7)
? = 3?2?-c?3 (7)
Учитывая формулы (10) и (11) в доказательстве Утверждения1 (x=? , y=? (8)) при нахождении решения уравнения (1) для n=3, автоматически распространим его и при нахождении решения уравнения (1) для n>3. Тогда, с учетом (5) тождество (2) принимает вид:
a4 = (xu-cy?)2 + c(x?+yu)2 => a4 = b2 + cd2 (9)
где
a = x2+cy2
b = xu-cy? (10)
d = x?+yu
Учитывая (8), (7),…, (7), запишем a, b, d в системе (10) через ? и ?:
a = ?2+c?2
b =xu-cy?=?(?3-3c??2)-c?(3?2?-c?3)=?4-3c?2?2-3c?2?2+c2?4 = ?4-6c?2?2+c2?4
d = x?+yu=?(3?2?-c?3)+?(?3-3c??2)=3?3?-c??3+??3-3c??3 = 4?3?-4c??3
Итак, уравнение (9) a4=b2+cd2 имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2
b = ?4-6c?2?2+c2?4 (11) и соответствующее тождество:
d = 4?3? - 4c??3
(12) (?2+с?2)4?(?4-6с?2?2+с2?4)2+с(4?3?-4с??3)2
Пример:
при ? = ? = 1 и с = 2 => 34 = (1-12+4)2+2(4-8)2 => 81 ? 49 + 32.
n=5
Рассуждения аналогичны.
Пусть в тождестве (2) (x2+cy2)(u2+c?2) ? (xu-cy?)2+c(x?+yu)2
a = x2+cy2 (13)
тогда получаем соотношение:
a4 = u2+c?2
(x2+cy2)4 = u2+c?2 которое есть ничто иное, как уравнение (1) с n=4: (9) a4=b2+cd2) (см. случай n=4), решение которого есть система (11). Отсюда:
a =x2+cy2=?2+c?2
u =?4-6c?2?2+c2?4 (14)
? =4?3?-4c??3
С учетом (13) тождество (2) принимает вид:
a5 = (xu-cy?)2 + c(x?+yu)2 => a5=b2+cd2 (15)
где
a = x2+cy2
b = xu-cy? (16)
d = x?+yu
Учитывая (8) (x=? , y=?) и (14), запишем a,b,d в системе (16) через переменные ? и ?:
a = ?2 + c?2
b = xu-cy? =?(?4-6c?2?2+c2?4)-c?(4?3?-4c??3)=
=?5-6c?3?2+?c2?4-4c?3?2+4c2??4 = ?5-10c?3?2+5c2??4
d = x?+yu =?(4?3?-4c??3)+?(?4-6c?2?2+c2?4)=
=4?4?-4c?2?3+?4?-6c?2?3+c2?5 = 5?4?-10c?2?3+c2?5
Итак, уравнение (15) a5=b2+cd2 имеет следующие решения:
a=?2+c?2
d=5?4?-10c?2?3+c2?5 (17)
b=?5-10c?3?2+5c2??4
и соответствующее тождество:
(?2+c?2)5=(?5-10c?3?2+5c2??4)2+c(5?4?-10c?2?3+c2?5)2 (18)
Пример:
при ?=?=1 и с=2 =>
=> 35 = (1-20+20)2 +2(5-20+4)2 = 12+2112 => 35 = 12 +2112= 243
n=6
Решение уравнения a6=b2+cd2 (19) находятся аналогично. Доказательство опирается на известные решения уравнения предыдущей степени, т.е. n=5. Уравнение (19) имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2
b = ?6 - 15c?4?2 + 15c2?2?4 - c3?6 (20)
d = 6?5? - 20c?3?3 + 6c2?
и соответствующее тождество:
(?2 + c?2)6 = (?6 - 15c?4?2 + 15c2?2?4 - c3?6)2 + c(6?5? - 20c?3?3 + 6c2??5)2(21)
Пример:
при ? = ? = 1 и c = 2 имеем:
36=(1- 30 + 60 - 8)2 + 2(6 40 + 24)2 =
= 232 + 2 (-10)2 => 36 ? 232 + 2 (-10)2 ? 725.
n=7
Аналогичные рассуждения приводят к тому, что уравнение
(22) a7 = b2 + cd2 имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2
b = ?7 - 21c?5?2+ 35c2?3?4 - 7c3??6 (23)
d = 7?6? - 35c?4?3 + 21c2?2?5 c3?
а соответствующее тождество:
(24) (?2 + c?2)7 ?
?(?7- 21c?5?2 + 35c2?3?4-7c3?6?7)2 +24+ c(7?6? - 35c?4?3 + 21c2?2?5 c3?7)
Пример:
при ? = ? = 1 и c = 2 имеем:
37 = (1- 42 + 140 - 56)2 + 2(7 70 + 84 - 8)2 =
= 432 + 2132 => 37? 432 + 2132 ? 2187.
ІІ этап
Получение общего решения уравнения
(1) an=b2 + cd2
(Напомним, доказательство не строгое, опирается на частные случаи)
Выпишем все тождества, полученные для каждой степени
n = 2; 3; 4; 5; 6; 7;
n = 2
(?2+c?2)2 = (?2 c?2)2 + c(2??)2
n = 3
(?2+c?2)3 = (?3 - 3c??2)2+c(3?2? c?3)2
n = 4
(?2+c?2)4 = (?4 - 6c?2?2+c2?4)2+c(4?3? 4c??3)2
n = 5
(?2+c?2)5 = (?5 - 10c?3?2+5c2??4)2+c(5?4? 10c?2?3+c2?5)2
n = 6
(?2+c?2)6 = (?6 - 15c?4?2+15c2?2?4-c3?6)2+c(6?5? 20c?3?3+6c2??5)2
n = 7
(?2+c?2)7 = (?7 - 21c?5?2+35c2?3?4-7c3??6)2+c(7?6?
-35c?4?3+21c2?2?5-c3?7)2
Анализируя эти тождества, приходим к общему тождеству общего уравнения
an = b2 + cd2 (1) :
(?2 + c?2)n = (?n k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4 k7c3?n-6?6 +…)2 +
+ c(n?n-1? k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5 k8c3?n-7?7)2 (25)
где в правой части тождества 25 в обеих скобках слагаемые представляют собой слагаемые бинома Ньютона
(? + ?)n, умноженных на cm, где m = 0,1,2,3…,
знак +, если m-четное,
ki биноминальные коэффициенты, где i= 3,4,5,…,
k1 = 1 - первые два биноминальных коэффициента при ?n и ?n-1?.
k2 = n
Глядя на уравнение (1) и тождество (25), определяем, что решением уравнения (1) an = b2 + cd2 являются:
a = ?2 + c?2
b = ?n k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4 k7c3?n-6?6 +…
d = n?n-1? k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5 k8c3?n-7?7 +…, ч.т.д.
Утверждение. ( n>1-любое натуральное)
Уравнение an = b2 + cd2 (1), где c = const, имеет следующее решение:
a = ?2 + c?2
(2)b = ?n k3c?n-2?2 + k5c2?n-4?4 k7c3?n-6?6 +…
d = n?n-1? k4c?n-3?3 + k6c2?n-5?5 k8c3?n-7?7 +…,
ki биноминальные коэффициенты степени n,
где i = 3; 4; 5; 6; 7; 8…,
k