Традиционные методы вычислительной томографии
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
о значениями функции получается некоторая одномерная функция, зависящая от положения точки на этой прямой, например от ее расстояния до начала координат. Если это расстояние равно , координаты точки этой прямой в плоскости равны и . Следовательно, подстановкой , превращается в .
Теорема.
Пусть функция и ее радоновский образ таковы, что существуют их преобразования Фурье. Тогда одномерное преобразование Фурье радоновского образа по переменной равно функции, описывающей центральное сечение двумерного преобразования Фурье, соответствующее тому значению , при котором вычисляется преобразование Фурье функции
. (2.19)
Для доказательства (2.19) подставим в (2.17) вместо выражение (2.6) и сделаем замену переменных, аналогичную (2.4), полагая в (2.4) . Тогда получаем
=
. (2.20)
Сравнивая последний интеграл в (2.20) с (2.18), видим, что они равны, если в (2.20) под и понимать соответственно и . Следовательно, последний интеграл в (2.20) равен , что и доказывает сформулированную теорему. Легко убедиться, что теорема о центральном сечении справедлива и для случая, когда верно равенство (2.7).
2.4 Рассмотрим теперь формулы обращения и алгоритмы реконструкции, основанные на теореме о центральном сечении. Известно, что по двумерному преобразованию Фурье можно найти :
. (2.21)
Сделаем в (2.21) замену переменных, перейдя в плоскости к полярным координатам , так что , . Тогда (2.21) принимает вид:
. (2.22)
Теперь воспользуемся равенством (2.19) и вместо подставим в (2.22) функцию , после чего получим
(2.23)
Равенство (2.23) и является искомой формулой обращения, позволяющей с учетом (2.17) по найти функцию . Однако привлечение этого равенства для обработки данных томографических экспериментов оказывается не очень удобным из-за используемой в нем области интегрирования. Принимая во внимание равенство
, (2.24)
получим окончательное выражение для обращения преобразования Радона (см. Приложение Б)
. (2.25)
Для выявления детальной структуры алгоритма восстановления перепишем
(2.25) в несколько ином виде. Обозначим
(2.26)
и введем функцию от и равную
. (2.27)
Тогда (2.25) принимает вид
, (2.28)
где при вычислении интеграла по величина должна быть заменена в соответствии с (2.26) на . В целом, алгоритм обращения преобразования Радона можно интерпретировать как последовательность операций:
1) для данного радоновского образа определяется его преобразование Фурье ;
2) функция умножается на ;
3) вычисляется обратное преобразование Фурье произведения и тем самым определяется функция ;
4) аргументу функции присваивается значение (2.26);
5) проводится интегрирование функции по углу .
Рассмотрим теперь иной вид формулы обращения по сравнению с (2.25). Обозначим через импульсную реакцию фильтра с частотной характеристикой . Связь между этими функциями устанавливается прямым и обратным преобразованием Фурье
(2.29)
(2.30)
Заметим, что функция обладает свойством .
Подставим в (2.25) вместо правую часть (2.30), а вместо - (2.17). Тогда получим
(2.31)
Интегрирование по дает , а последующее интегрирование по приводит к выражению
(2.32)
Выражение (2.32) отличается от (2.25) тем, что в последнем участвует преобразование Фурье радоновского образа, а в (2.32) сам радоновский образ. Алгоритм (2.32) можно представить как совокупность трех последовательных операций:
1) вычисляется свертка данного радоновского образа с функцией ;
2) аргументу функции , описывающей получаемую свертку, присваивается значение (2.26);
3) проводится интегрирование функции по углу .
2.5 Обращение экспоненциального преобразования Радона (2.14) (2.16) представляет существенно более сложную задачу. Ограничимся здесь рассмотрением только случая радиально-симметричной функции . Тогда экспоненциальное преобразование Радона превращается в экспоненциальное преобразование Абеля [2]
==.
В [2] показано, что обратное экспоненциальное преобразование Абеля имеет вид
=
. (2.33)
3. МЕТОД РАЗЛОЖЕНИЯ В РЯД ФУРЬЕ (МЕТОД А. КОРМАКА)
В этом разделе рассмотрим восстановление функции изображения по ее проекциям, полученным при помощи внешнего источника излучения. Запишем искомую функцию в полярной системе координат . Тогда по переменной , , произвольная двумерная функция будет периодической и ее можно разложить в ряд Фурье
, . (3.1)
Аналогично разложим в ряд Фурье по переменной проекцию
, . (3.2)
В полярной системе координат (2.3) имеет вид
, (3.3)
Далее найдем гармонику
=
=, (3.4)
где . Преобразуем функцию , используя свойство - функции от сложного аргумента
,
где - функция Хевисайда, , . Следовательно,
, =
= (3.5)
где - многочлен Чебышева 1-го рода порядка . Выражение (3.5) представляет собой интегральное уравнение относительно неизвестной функции . В [3] показано, что решение (3.5) имеет вид:
. (3.6)
Итак, зная проекции , можно по формуле (3.2) найти гармоники , а затем вычислить гармоники по формуле (3.6) и, подставляя их в (3.1), найти искомую функцию .
Для радиально-симметричной функции в полярной системе координат преобразование Радона превращается в частный случай пр