Теорія ймовірності та її застосування в економіці
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Контрольна робота
З дисципліни: Теорія ймовірностей та математична статистика
Прізвище,імя, по-батькові студента
Данiщук Мирослава Евгенiївна
Прізвище та ініціали викладача
Степахно Ірина Василівна
Київ 2009 рік
Зміст
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Завдання 7
Список використаної літератури
Завдання 1
В ящику 50 куль: 36 жовтих і 14 синіх. З ящика навмання виймають одну кулю. Визначити ймовірність того, що ця куля:
а) жовта; б) синя.
Розвязання:
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають жовту кулю становить відношення кількості жовтих кульок до загального числа кульок:
а) Рч = 36/50 = 0,72
Ймовірність того, що з ящика наймання виймають синю кулю становить відношення кількості синіх кульок до загального числа кульок:
б) Рс = 14/50 = 0,28.
Відповідь: а) 0,72; б) 0,28.
Завдання 2
Імовірність несплати податку для кожного з n підприємців становить p. Визначити ймовірність того, що не сплатять податки не менше m1 і не більше m2 підприємців.
n=300; p=0,05; m1=25; m2=60
n=500; p=0,05; m1=10; m2=250
Розвязання:
Якщо випадкова величина попадає в інтервал .
Позначимо шукану імовірність Рn (m).
Ми доведемо що має місце наступна формула Бернуллі:
Позначимо через Вm складна подія, що полягає в тому, що в n досвідах подія А відбулося точно m раз. Запис буде означати, що в першому досвіді подія А відбулося, у другі і третьому - не відбулися і т.п. Тому що досвіди проводяться при незмінних умовах, те
Подія Вm можна представити у виді суми всіляких подій зазначеного виду, причому в кожнім доданку буква А без риси зустрічається точно m раз. Доданки в цій сумі несумісні й імовірність кожного доданка дорівнює Щоб підрахувати кількість доданків, помітимо, що їх стільки, скільки є способів для вибору m місць для букви А без риси. Але m місць з n для букви А можна вибрати способами. Отже,
Завдання 3
Задано ряд розподілу добового попиту на певний продукт Х. Знайти числові характеристики цієї дискретної випадкової величини:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення ? Х.
Х135711p0,100,150,420,250,08
Розвязання.
а) Математичне сподівання величини визначається як:
Запишемо результати в таблиці.
Х135711P0,100,150,420,250,08Х*Р0,100,452,101,750,88
б) Дисперсія визначається як:
Х135711Р (Х) 0,100,150,420,250,08Х - М (Х) -4,28-2,28-0,281,725,72 (Х - М (Х)) 218,325, 200,082,9632,72P (Х) * (Х - М (Х)) 21,830,780,030,742,62
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =6,00.
в) середнє квадратичне відхилення ?х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
Завдання 4
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення ? Х. n=3; p=0,5
Розвязання.
Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:
Підставивши значення параметрів, отримаємо:
Запишемо ряд розподілу цієї величини:
Таблиця 1
m12345678910Pn (m)
Таблиця 2
Х12345678910Pn (Х) 1.29E-019.68E-034.84E-041.82E-055.45E-071.36E-082.92E-105.47E-129.12E-141.37E-15
Рис.1. Графік біноміального розподілу
а) Математичне сподівання величини визначається як:
Запишемо результати в таблиці 3.
Таблиця 3
Х12345678910Pn (Х) 1.29E-019.68E-034.84E-041.82E-055.45E-071.36E-082.92E-105.47E-129.12E-141.37E-15ХP (Х) 1.29E-011.94E-021.45E-037.26E-052.72E-068.17E-082.04E-094.38E-118.21E-131.37E-14
б) Дисперсія визначається як:
Таблиця 4
Х12345678910СумаХ-M (Х) 0.8501.8502.8503.8504.8505.8506.8507.8508.8509.85053.500 (Х-M (Х)) 20.7233.4238.12314.82323.52334.22346.92361.62378.32397.023368.725Pn (Х) 0.1290.0104.84E-041.82E-055.45E-071.36E-082.92E-105.47E-129.12E-141.37E-150.139 (Х-M (Х)) 2P (m) 0.0930.0333.93E-032.69E-041.28E-054.66E-071.37E-083.37E-107.14E-121.33E-130.131
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =0,131.
в) середнє квадратичне відхилення ?х знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.
Завдання 5
Побудувати графік функції щільності розподілу неперервної випадкової величини Х, яка має нормальний закон розподілу з математичним сподіванням М (Х) =а і проходить через задані точки.
a=5
x1245f (x) 0,0330,0810,0810,033
a=2
x0,5133,5f (x) 0,130,240,240,13
Розвязання.
а) М (Х) =5.
Нормальний закон розподілу описується формулою:
Знайдемо середньоквадратичне відхилення.
Дисперсія визначається як:
,
де М (Х) - математичне сподівання.
Математичне сподівання обчислюється за формулою:
Допоміжні розрахунки представлені в таблиці 5.
Таблиця 5
Допоміжні розрахунки
Сумаx124512,00f (x) 0,0330,0810,0810,0330,22816,0009,0001,0000,00026,0000,5280,7290,0810,0005,928Отже, D (X) = 5,928
Підставивши значення у вираз для ймові