Теория вероятности и математическая статистика
Методическое пособие - Математика и статистика
Другие методички по предмету Математика и статистика
рассматривается вероятность наступления произвольного события, то мы понимаем это число следующим образом: это частость наступления события в бесконечной (достаточно длинной) серии испытаний.
К сожалению, попытка определить вероятность как предел частости, при числе испытаний, стремящихся к бесконечности, закончилась неудачно. Хотя американский ученый Мизес создал теорию вероятности, базирующуюся на этом определении, но ее не признали из-за большого количества внутренних логических несоответствий.
Теория вероятности как наука была построена на аксиоматике Колмогорова.
Аксиоматика теории вероятности.
Построение вероятностного пространства.
Последовательно строим вероятностное пространство.
Этап 1:
Имеется испытание. В результате проведения испытания может наблюдаться одно событие из серии событий . Все события из системы называются наблюдаемыми. Введем предположение, что если события A , B наблюдаемы, то наблюдаемы и события .
Система событий F называется полем событий или алгеброй событий, если для двух произвольных событий A, B F выполняется:
- Дополнения
- (A+B) F, (AB) F
- все конечные суммы элементов из алгебры принадлежат алгебре
- все конечные произведения элементов из алгебры принадлежат алгебре
- все дополнения конечных сумм и произведений принадлежат алгебре.
Таким образом, систему мы расширяем до алгебры или поля F путем включения всех конечных сумм, произведений, и их дополнений. Т.е. считаем, что в результате проведения испытания наблюдаемая система является полем или алгеброй.
Множество всех подмножеств конечного числа событий является наблюдаемой системой - алгеброй, полем.
Этап 2:
Каждому событию A F ставим в соответствие число P(A), которое называется вероятностью наступления события A. Такая операция задает вероятностную меру.
Вероятностная мера - числовая скалярная функция, аргументами которой являются элементы из системы алгебры F. Введенная вероятностная мера удовлетворяет системе из трех аксиом.
- P(U)=1.
- Рассмотрим конечную или бесконечную систему попарно несовместных событий, каждое из которых принадлежит алгебре F.
. Если , то .
Алгебра событий называется - алгеброй, если эта система событий содержит в себе все конечные суммы и произведения из алгебры F и их дополнения, а также все бесконечные суммы и произведения из алгебры и их дополнения.
Пример: В пространстве R1 зададим в качестве поля событий все конечные интервалы вида axb, ba.
Распространение этой алгебры на - алгебру приводит к понятию борелевской алгебры, элементы которой называются борелевскими множествами. Борелевская алгебра получается не только расширением поля вида axb, но и расширением полей вида axb, axb.
Над наблюдаемым полем событий F задается счетно-аддитивная мера - числовая скалярная функция, элементами которой являются элементы поля F, т.е. события. Она удовлетворяет следующим трем условиям-аксиомам теории вероятности.
. P(A) - число, принадлежащее сегменту [0, 1] и называющееся вероятностью наступления события A.
- P(A) [0, 1] P(U)=1.
- Пусть имеется A1, A2, A3,..., Ak - система попарно несовместных событий
Если , то .
Теорема о продолжении меры.
Построим минимальную - алгебру, которой принадлежит поле событий F (например, борелевская - алгебра - это минимальная - алгебра, которая содержит поле всех полуинтервалов ненулевой длины).
Тогда доказывается, что счетно-аддитивная функция P(A) однозначно распространяется на все элементы минимальной - алгебры и при этом ни одна из аксиом не нарушается.
Таким образом, продленное P(A) называется - аддитивной мерой.
- алгебра содержит ненаблюдаемые события наряду с наблюдаемыми.
Но в аксиоматической теории вероятности считается, что может произойти любое событие из - алгебры.
Расширение поля наблюдаемых событий на - алгебру связано с невозможностью получить основные результаты теории вероятности без понятия - алгебры.
Определение вероятностного пространства.
Вероятностным пространством называется тройка (, , P), где
- пространство элементарных событий, построенное для данного испытания;
- -алгебра, заданная на - системе возможных событий, которая интересует исследователя, в результате проводимых испытаний;
P - - аддитивная мера, т.е. - аддитивная неотрицательная функция, аргументами которой являются аргументы из - алгебры и удовлетворяющая трем аксиомам теории вероятности.
. P(A) - называется вероятностью наступления события A.
- Вероятность достоверного события равна 1 P()=1.
- Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей
, .
k - возможно бесконечное число.
Следствие:
Вероятность невозможного события равна 0.
По определению суммы имеет место неравенство +V=. и V несовместные события.
По третей аксиоме теории вероятности имеем:
P(+V)=P(Q)=P(U)=1
P()+P(V)=P()
1+P(V)=1
P(V)=1
Пусть состоит из конечного числа элементарных событий ={E1, E2,..., Em} тогда по определению . Элементарные события несовместны, тогда по третей аксиоме теории вероятности имеет место
Пусть некоторое событие A состоит из k элементарных событий, тогда {Ei1, Ei2,..., Eik}
Доказать: Если AB, то P(B)P(A), B=A+C, A и C несовместны.
* Пусть B=A+C, A и B несовместны. Тогда по третей аксиоме теории вероятн?/p>