Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Министерство образования Российской Федерации
Томский Политехнический Университет
Кафедра ВТ
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Выполнил
студент гр. 8В22
Голобородов М.С
Проверил преподаватель
Шалаев Ю.Н.
Томск 2004г.
Задание
- Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их вероятности.
- Показать, что для условной вероятности выполняется свойствo:
P(A/B) = 1 - P(A/B)
- По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин ? и ? найти: коэффициент А,
-функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое ожидание M? и M? и дисперсию системы D? и D?
- По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {4.5, 4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра a - математическое ожидание при уровне значимости ? = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X COS(2t)
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.5. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V =dY/dt.
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN (t) + Y e-t
c MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
1. Пример пространства элементарных событий: бросание двух игральных костей.
Элементарным событием является пара чисел ? = (a,b), где а - число очков на первой кости, b - число очков на второй кости. При этом
События:
A - выпало в сумме число 5,
B - выпало в сумме число 6,
C - выпали 2 одинаковых числа.
={(1,4), (4,1), (3,2), (2,3)},={(1,5), (5,1), (2,4), (4,2), (3,3)},={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.
События A и B - несовместные события, т.к. A?B=;
События B и C - совместные, A?B={(3,3)}
Найдем вероятности этих событий:
;
;
.
. Докажем, что P(A/B) = 1 - P(A/B)
3. Чтобы найти коэффициент A, воспользуемся условием нормировки плотности системы случайных непрерывных величин
Из этого следует, что A = 2.
f(x,y) = 2x3y;
- функция распределения системы непрерывных случайных величин находится как
F(x,y) =(x,y) =
, ,(x,y) = , ,
, x > 1, y > 2
- функция распределения отдельных составляющих системы определяется как
- событие вероятность распределение случайный
, (x) = x4,
, x > 1
, (y) = y2/4,
, y > 1
- плотность вероятностей отдельных составляющих системы находится по соотношениям
, (x) = 4x3,
, x > 1
, (y) = y/2,
, y > 2
- условная плотность вероятности системы случайных непрерывных величин находится по соотношениям
, (x/y) = 4x3,
, y > 2
, (y/x) = y/2,
, y > 2
- математическое ожидание системы определится как
- дисперсия системы
;
. X = {4.5, 4.3, 4.0, 3.7, 3.9, 4.3, 4.3, 4.0, 4.0, 4.5, 3.7, 4.0, 3.9, 3.7, 4.5 }.
Строим вариационный ряд:
x3.73.94.04.34.5ni32433
Строим эмпирическую функцию распределения
, Fn(x) = ;
, Fn(x) = ;
, Fn(x) = ;
, Fn(x) = ;
, Fn(x) = ;
, Fn(x) = 1.
Fn(x) = 0,
/5,
/3,
/5,
/5,
,
Построим полигон частот
Построим эмпирическую функцию распределения
Выборочное среднее определяется по соотношению:
Выборочная дисперсия:
- смещенная оценка
- несмещенная оценка
Доверительный интервал для параметра a:
при и n = 15(по таблице).
5. Y(t)=Xcos(2t), MX=3, DX =1.5.
;
;
. Z = X SIN (t) + Y e-t, MX = 1.6, DX = 2.5, MY = 3.2, DY = 3, r xy = 0.8.
;
(т.к. )
.