Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Контрольная работа - Математика и статистика
Другие контрольные работы по предмету Математика и статистика
Министерство образования РФ
Томский политехнический университет
Факультет АВТ
Индивидуальное домашнее задание
Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы
Вариант № 1
Выполнил
Студент группы 8В22
Аксенова НГ
Проверил
Преподаватель
Шалаев Ю.Н.
Томск 2004г.
Задание № 1
- Привести пример пространства элементарных событий.
Записать совместные и несовместные события и найти их вероятности.
- Доказать, что если независимы события А и U, то независимы события А и U.
- По плотности распределения вероятностей системы двух случайных величин ? и ? найти:
-коэффициент А;
функцию распределения F(x,y) системы случайных величин;
функции распределения и плотности распределения отдельных составляющих системы случайных величин: F1(x), F2(y), f1(x), f2(y);
условные плотности распределения f(x/y), f(y/x);
числовые характеристики системы: математическое ожидание M? и M? и дисперсию системы D? и D?
- По выборке Х оценить закон генеральной совокупности и оценить его параметры:
X = {2.4, 2.2, 2.0, 1.6, 1.8, 2.2, 2.2, 2.0 , 2.0, 1.4, 1.6, 2.0, 1.8, 2.6, 2.4 }.
По выборке Х построить доверительный интервал для параметра a - математическое ожидание при уровне значимости ? = 0.01.
По выборке Х построить эмпирическую функцию распределения.
5 Задана случайная функция
Y = X (t2 + 1)
где Х случайная величина с МХ = 3, DX = 1.2. Найти числовые характеристики MV, DV, K V (t 1, t 2 ) случайной функции
V = dY/dt
6. Задан случайный процесс
Z = X SIN(t) + Y e-2t
c MX = 1.2, DX = 3.4, MY = 4, DY = 3, r xy = 0.6.
Найти MZ, DZ, K Z (t1 , t2).
. Монету подбрасывают один раз.
Элементарными несовместными событиями в данном случае будут
?1- выпадение цифры;
?2- выпадение герба.
?={ ?1,?2}
где ?- пространство элементарных событий.
Вероятности того, что выпадет цифра или герб равны
P(?1)= P(?2)=0.5
- Условие независимости двух событий: если А и В независимы, то
P(A/B)=P(A).
В данном случае P(A/U)=P(A)
Доказательство
P(A/U)=P(A? U)/P(U)=P(A(1-U))/P(U)=P(A-A*U)/ P(U)=P(A)P(1-U)/ P(U)=P(A)* P(U)/ P(U)=P(A)
- Найдем коэффициент А
=1=1/8(x,y)=(x,y)=(x/y)=(y/x)= (x)=(x)=(x)=(x)=
M?=
M?=
D?=
D?=
- Вариационный ряд состоит из семи различных чисел.
Так как X- дискретная случайная величина, то составляем таблицу ряда
x1.41.61.82.02.22.42.6ni1224321
Строим эмпирическую функцию
-?<x?1.4Fn(x)=1/15
.4<x?1.6Fn(x)=2/15
.6<x?1.8Fn(x)=2/15
.8<x?2.0Fn(x)=4/15
.0<x?2.2Fn(x)=3/15
.2<x?2.4Fn(x)=2/15
.4<x?2.6Fn(x)=1/15
.6<x<?Fn(x)=0
событие вероятность величина распределение
Fn(x)=
В качестве оценки для математического ожидания принимают эмпирическое среднее, т.е. среднее арифметическое всех полученных значений величины X.
xср=1/n* xi
xср=1/15(1.4+2*1.6+2*1.8+4*2.0+3*2.2+2*2.4+2.6)=2.013
Выборочная дисперсия находится по формуле
?2 =1/n*(xi-xср)2 -это смещенная оценка дисперсии генеральной совокупности.
?2 =1/15*((1.4-2.013)2+2*(1.6-2.013)2+2*(1.8-2.013)2+4*(2-2.013)2+
*(2.2-2.013)2+2*(2.4-2.013)2+(2.6-2.013)2)=0.10382=1/(n-1)*(xi-xср)2 -это несмещенная оценка дисперсии
S2=0.1112
Среднеквадратичное отклонение
? =v1/n*(xi-xср)2=0,3222 S=v1/(n-1)*(xi-xср)2=0,3335
Для построения доверительного интервала определяем его границы по формулам
Aн=xср-??*S/vn
Aв=xср+??*S/vn
xср- выборочное среднее
S- выборочное среднеквадратичное отклонение несмещенной оценки
??- определяется по таблицам распределения Стьюдента, по уровню значимости ? и числу степеней свободы
p=1- ?
Из таблицы находим ??=1,76
Тогда ??*S/vn=1,76*0,335/3,74=0,158
Искомый доверительный интервал
m€(2,013-0,158;2,013+0,158)
m€(1.855;2.171)
- Найдем V=dY/dt=2Xt
MV=M(2Xt)=2tMX=2t*3=6t=D(2Xt)=4t2DX=4t2*1.2=4.8t2(t1,t2)=M[(2X t1-6 t1)*(2X t2-6 t2)]=2 t1*2 t2*M[(X-3)*(X-3)]= 4 t1 t2*M(X-3)2=
t1 t2*M(X-MX)2=4 t1 t2*DX=4 t1 t2*1.2=4.8 t1 t2
т.к. M(X-MX)2= DX
Корреляционная функция Kv(t1,t2) характеризует степень тесноты линейной зависимости между двумя сечениями и разброс этих сечений относительно математического ожидания находится по формуле
Kv(t1,t2)=M[(V(t1)-Mv(t1))*( V(t2)-Mv(t2))]
. MX(t)=M[Xsint+Ye-2t]=sintMX+e-2tMY=1.2*sint+4e-2t=D[Xsint+Ye-2t]=sin2tDX+ e-4tDY=3.4*in2t+3e-4t(t1,t2)=MZ(t1)*Z(t2)
Z(t1)=Xsin t1+Ye-2 t1-1.2 sin t1-4e-2 t1= sin t1 (X-1.2)+ e-2 t1 (Y-4)= sin t1X+ e-2 t1 Y
Аналогично
Z(t2)= sin t2X+ e-2 t2 Y(t1,t2)=M[(sin t1X+ e-2 t1 Y)*( sin t2X+ e-2 t2 Y)]=M[sin t1 sin t2 X2+ e-2 t1 sin t2X Y+
+ e-2 t2 sin t1X Y+ e-2(t1+t2) Y2]= sin t1 sin t2 MX2+ e-2 t1 sin t2MX Y+ e-2 t2 sin t1MX Y+ +e-2(t1+t2) MY2= sin t1 sin t2 DX+ e-2 t1 sin t2KXY+ e-2 t2 sin t1KXY+ e-2(t1+t2) DY=
=3.4 sin t1 sin t2 +1.92 e-2 t1 sin t2+1.92 e-2 t2 sin t1+3 e-2(t1+t2)
с учетом того, что
rxy= KXY /vDX*DY > KXY = rxy*vDX*DY=1.92