Теоремы Перрона-Фробеніуса та Маркова
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
?атні.
Доведення теореми для 2х2 матриць.
Запишемо стохастичну матрицю у вигляді , де
Запишемо її характеристичне рівняння: ,
Це квадратне рівняння з дискрімінантом:
І тому
З урахуванням маємо , але якщо , то це значить, що p=q=1 або p=q=0, відкіля матриця P буде мати вигляд , або і тоді Pn містить нулі , що суперечить умові. Таким чином .
Беспосередньою перевіркою з урахуванням стохастичності встановлюємо, що власному значенню відповідає власний вектор , де x1=x2, тобто, наприклад власний вектор. Знайдемо власний вектор , що відповідає власному значенню .
За визначенням
Звідки
Згадуючи, що отримуємо
Очевидно, що рівняння системи пропорційні, тому одне з них можна відкинути. Знайдемо y1 з першого рівняння: або звідки , але , бо в протилежному випадку дана матриця мала б вигяд: , а тоді матриця мала б нульовий елемент , що суперечить умові. Тому можна записати, що
Доведемо тепер твердження 1 теореми.
Розглянемо матрицю S, стовпцями якої є власні вектори матриці P. Нам необхідно отримати зручну формулу для Pn.
Позначимо .
Оскілки , то існує S-1. Перепишемо рівняння та у матричній формі
або .
Відкіля і взагалі
Знайдемо границю Pn:
Твердження 1 теореми доведено.
Доведемо тепер, що рядки матриці однакові. Для цього обчиcлимо .
Оскільки , то Ми бачимо, що рядки матриці - однакові. Доведемо тепер, що їх елементи додатні. Для цього врахуємо отриману раніше залежність
Для того, щоб довести треба довести, що , треба довести, що та .
Маємо
,
, тому що p>0 і q >0
Теорема доказана.
Зауваження1 В процесі доведення ми вивели, що для 2х2 матриць
Зауваження2 Позначимо рядки граничної матриці . Тоді можна знайти з умови:
Доведення.
Оскільки
Зівдки
Або
Звідки
Зокрема, для 2х2 матриці
Умовою рядок визначається однозначно, що для 2х2 матриці можна перевірити.
В роботі дані для матриць другого порядку елементарні доведення таких фундаментальних теорем теорії невідємних матриць. як теореми Перрона, Перрона-Фробеніуса, Маркова.
У відомій нам літературі повне доведення цих теорем дається для загального випадку матриць n-го порядку з використанням неелемнтарних теорем і методів. А математичний апарат, який використовується в даній роботі, це: аналіз поведінки розвязків квадратного рівняння та розвязків системи двох лінійних рівнянь в залежності від коефіцієнтів.
Робота може бути використана при проведенні додаткових занять, присвячених розгляду вибраних неелементарних питань математики, за допомогою методів, які доступні школярам.
Список літератури:
- С.А. Ашманов. Математические модели и метод в экономике.
МГУ. 1980 - С.А. Ашманов. Введение в математическую экономику. “Наука”.
М., 1984 - Р. Беллман. Введение в теорию матриц. “Наука”. М. 1969
- Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц. “Наука”. М.,1967
- Б.В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. “Наука”. М., 1988
- С. Карлин. Математические метод в теории игр, программирования и экономике. “Мир”. М., 1964
- Дж. Кемени, Дж. Скелл, Дж. Томпсон. Введение в конечную математику. Иностранная литература. М. 1963
- П. Ланкастер. Теория матриц. “Наука”. М. 1978
- Ю.М. Свирежев, Д.О.Логофет. Устойчивость биологических сообществ. “Наука”. М. 1978
- В. Феллер. Введение в теорию вероятностей и ее приложение.
Т1. “Мир”.М. 1984