Бернулли
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
лов, что свидетельствовало о научном авторитете Бернулли среди итальянских ученых и благоприятствовало деятельности Д, Бернулли в Венеции.
С помощью одного знатного венецианца Д. Бернулли в 1724 г. издал Математические упражнения (Даниила Бернулли из Базеля, сына Иоганна, некоторые математические упражнения), направленные в защиту идей отца и дяди от нападок некоторых итальянских ученых. Книга представляет как бы обзор научной деятельности автора за предыдущие годы и содержит многие идеи, развитые им впоследствии. Через год некоторые результаты были опубликованы в Acta Eruditorium и стали достоянием более широкого круга ученых.
Математические упражнения состоят из четырех разделов: три посвящены математике, один (второй) приложениям математики к гидравлике и медицине. В части книги, связанной с математикой, Бернулли полимезирует с итальянскими математиками (Д. Ризетти, Д. Риккати и др.) по разрабатываемой в то время чистой математике. Здесь содержится много ссылок на работы, помещенные в разное время в Acta Eruditorium; это служит свидетельством того, что автор был в курсе новейших открытий. Наиболее значима часть книги, посвященная исследованию дифференциального уравнения Риккати.
Развитие математики в первой половине XVIII в. характеризовалось тем, что наряду с детальным рассмотрением различных классов функций наблюдалось дальнейшее исследование дифференциальных уравнений и применение их к задачам механики, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления. Уравнения интегрировались как в конечном виде, так и с помощью рядов.
Ко времени опубликования Математических упражнений в работах Лейбница, Я. и И. Бернулли были найдены способы интегрирования однородных и линейных уравнений первого порядка, а также уравнений Я. Бернулли.
y=f(х; у), в котором правая часть является функцией отношения у/х. В 1693 г. Лейбниц нашел метод сведения таких уравнений к уравнениям с разделяющимися переменными подстановкой у=их.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид у+Р(х)у=Q(х).
Метод решения таких уравнений, когда функция у отыскивается в виде произведения двух новых функций (у=иу), был разработан примерно в то же время и также Лейбницем. Уравнение вида
y+Р(х)у=Q(х)уп предложил Я. Бернулли. Оно в 16961697 гг. было решено тем же методом, что и линейное, Лейбницем, Я. и И. Бернулли; кроме того, Лейбниц и И. Бернулли показали, что оно сводится к линейному подстановкой y1-n=z
К некоторым уравнениям применялся также интегрирующий множитель. Я. Бернулли предложил прием понижения порядка к уравнению второго порядка, не содержащему явно одной из переменных, заменой y=p. Работа Я. Бернулли увидела свет позднее, после того как Риккати в 1715 г. опубликовал свое исследование о том же методе.
В 1694 г. в Асtа Eruditorium И. Бернулли поместил небольшую статью, в которой упоминалось уравнение тина Риккати. Он писал: Я еще не выяснил, можно ли разрешить дифференциальное уравнение х2dх + у2dх = d2у. После этой публикации уравнением y=у2+х2
заинтересовался Я. Бернулли, о чем свидетельствуют его письма Лейбницу в 16971704 гг. Я бы хотел далее от тебя узнать, пытался ли ты исследовать dу=у2dх+х2dх, писал Я. Бернулли Лейбницу 27 января 1697г. Я делал множество попыток, но решение этой задачи постоянно ускользало от меня. Кстати, я вспоминаю другое уравнение dу=у2dх+х2dх, писал он Лейбницу 15 ноября 1702 г., в котором мне не удалось разделить переменные так, чтобы уравнение осталось просто дифференциальным; но я разделил их сведением к следующему дифференциальному уравнению: d2у:у=-х2dx2.
Хотя Я. Бернулли не удалось решить уравнение в конечном виде, интерес к нему у математиков утих. Лишь в 1724 г. граф Джакопо Риккати в Дополнении VIII к Асtа Eruditorium поставил задачу: для уравнения у=ахп+bу2 (а и b постоянные) найти значения п, при которых оно допускает разделение переменных. Ею занялись Иоганн I, Николай I, Николай II и Даниил Бернулли, но, кроме Даниила, существенных результатов никто не получил.
Д. Риккати свое решение в упомянутом дополнении выразил в виде анаграммы.
В том же выпуске Асta Eruditorum была помещена заметка Д. Бернулли, в которой он написал, что уравнение ахndх+ииdх=bdи считается неразрешимым.
Бернулли приступил к исследованию уравнения и вскоре опубликовал свои результаты в Математических упражнениях. Он установил, что уравнение Риккати допускает интегрирование в конечном виде в случаях n= -4k/(2k1) (kцелое число).
Случай п=2 рассмотрел Эйлер. В 1841 г. Лиувилль доказал, что в случаях, отличных от указанных Д. Бернулли и Эйлером, решение уравнения Риккати не сводится к квадратурам и не может быть выражено с помощью конечного числа элементарных функций. Уравнение
у+а(х)y2+b(x)y+c(x)=0
теперь называют обобщенным уравнением Риккати. Его исследовал Эйлер и установил, что если известно одно частное решение у1(х) уравнения, то подстановка y=y1 (х)+1/и{х) приводит его к линейному. Если же известны два частных решения y1(x) и у2(x), то общий интеграл уравнения находится одной квадратурой.
Интерес к уравнению Риккати объясняется тем, что оно встречается при решении некоторых задач механики; кроме того, к нему можно свести любое линейное уравнение второго порядка.
Интересы Д. Бернулли были разнообразны. И вскоре он заинтересовался древней неразрешимой задачей квадратуры круга просуществовавшей многие века, будоража умы математиков всех времен. Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) пытался справиться с квад?/p>