Статические модели задачи размещения
Информация - Математика и статистика
Другие материалы по предмету Математика и статистика
ь значений , при которых достигается минимум функционала
(12)
при условиях
, , , (13)
(14)
(15)
где - возможный объем производства предприятия .
Предполагается, что
так как в противном случае задача не имеет решения. Задача чрезвычайно упрощается, когда
или
в обоих случаях ее решение сводится к решению одной транспортной задачи. Поэтому будем в общем случае считать
. (16)
Обозначим через множество тех , для которых . Определим функцию на множестве всех подмножеств (считаем для , как и прежде, ). Если для каждого полагать, что для всех (это означает, что для всех предприятий возможно расширение мощности до ), то минимальное значение функционала (12) для этого может быть определено так:
(17)
при условиях
, , , (18)
(19)
для (20)
для
Так как с учетом пустого множества для любого выполняется неравенство
, (22)
то методами линейного программирования определяется значение для любого . Таким образом, на множестве всех подмножеств со множества I определяется однозначная функция . Следовательно, задача 2 сводится к определению такого подмножества, на котором функция принимает свое наименьшее значение, т.е. по всем при условиях (18) (21). Возможны два случая:
1) , т.е. и в этом случае получаем задачу 1;
2) можно записать где элементы , расположенные в порядке возрастания
индексовi, т.е. если
В случае 2) рассмотрим задачу отыскания наименьшего значения функционала
(23)
при условиях
, , , (24)
(25)
(26)
где
Значения ,, определяются следующим образом.
Для всех - сколь угодно большое положи
тельное число, но в то же время т.е. сколь угодно меньше числа
Для всех при любых
Условие этой задачи полностью совпадает с условием задачи 1, и поэтому решение ее сводится к отысканию такого подмножества на котором функция достигает своего наименьшего значения
3. Задача размещения со ступенчатой функцией стоимости производства.
Постановка этой задачи отличается от постановки задачи 1 другим заданием функций стоимости производства предприятий. В данном случае эта функция задается некоторой ступенчатой разрывной функцией именно:
(27)
где для всех (при). Из для всех следует, что при для всех
Таким образом, задача состоит в следующем: определить совокупность значений при которых достигается минимум функционала
(28)
где - ступенчатая разрывная функция (27) при условиях
, , , (29)
(30)
(31)
При получаем задачу 1.
4. Задачи размещения с ограничениями на суммарную продукцию.
В этой задаче предполагается, что суммарный объем продукции, выпускаемой всеми предприятиями, задан и равен , объемы перевозок от предприятий до потребителей ограничены сверху величинами , каждый потребитель должен получить продукцию в объеме, не меньшем . Остальные условия задачи 1 сохраняются.
Тогда рассматриваемая задача принимает следующий вид: определить совокупность значений , при которых достигается минимум функционала
(32)
при условиях
, , , (33)
(34)
(35)
(36)
Будем считать, что
,
Рассмотрим вначале задачу (32) -(36). Наиболее интересен случай,
когда
Все остальные предположения о расположении величины d относительно интервала либо делают задачу несовместной, либо позволяют освободиться от условия (4.53).
Действительно, если
, то ;
при условия (33), (34), (36) несовместны; при условие (36) можно исключить, заменив условия (34) на
при условия (33), (34), (36) несовместны; при условие (36) можно исключить, заменив условия (35) на
Для любого определение сводится к решению задачи (32)-(36), где везде вместо I пишется . Если d для какого-либо выйдет из интервала , то, как показано выше, либо условия (33)-(36) становятся несовместными (в этом случае полагаем ), либо освобождаемся от условия (4.53) и определение сводится к решению транспортной задачи типа 1.
Производственно-распределительные задачи оптимального размещения предприятий и применимость метода последовательных расчетов.
5. Производственно-распределительная задача размещения предприятий с ограниченными объемами производства и пропускными способностями коммуникаций.
Рассматривается задача нахождения наименьшего значения функционала
(37)
при условиях
(38)
(39)