Статические модели задачи размещения

Информация - Математика и статистика

Другие материалы по предмету Математика и статистика

ь значений , при которых достигается минимум функционала

(12)

при условиях

 

, , , (13)

(14)

(15)

 

где - возможный объем производства предприятия .

Предполагается, что

так как в противном случае задача не имеет решения. Задача чрезвычайно упрощается, когда

или

в обоих случаях ее решение сводится к решению одной транспортной задачи. Поэтому будем в общем случае считать

. (16)

Обозначим через множество тех , для которых . Определим функцию на множестве всех подмножеств (считаем для , как и прежде, ). Если для каждого полагать, что для всех (это означает, что для всех предприятий возможно расширение мощности до ), то минимальное значение функционала (12) для этого может быть определено так:

(17)

 

при условиях

 

, , , (18)

(19)

для (20)

для

 

Так как с учетом пустого множества для любого выполняется неравенство

, (22)

то методами линейного программирования определяется значение для любого . Таким образом, на множестве всех подмножеств со множества I определяется однозначная функция . Следовательно, задача 2 сводится к определению такого подмножества, на котором функция принимает свое наименьшее значение, т.е. по всем при условиях (18) (21). Возможны два случая:

1) , т.е. и в этом случае получаем задачу 1;

2) можно записать где элементы , расположенные в порядке возрастания
индексовi, т.е. если

 

В случае 2) рассмотрим задачу отыскания наименьшего значения функционала

 

(23)

при условиях

 

, , , (24)

(25)

(26)

где

 

 

Значения ,, определяются следующим образом.

Для всех - сколь угодно большое положи

тельное число, но в то же время т.е. сколь угодно меньше числа

Для всех при любых

Условие этой задачи полностью совпадает с условием задачи 1, и поэтому решение ее сводится к отысканию такого подмножества на котором функция достигает своего наименьшего значения

3. Задача размещения со ступенчатой функцией стоимости производства.

Постановка этой задачи отличается от постановки задачи 1 другим заданием функций стоимости производства предприятий. В данном случае эта функция задается некоторой ступенчатой разрывной функцией именно:

(27)

где для всех (при). Из для всех следует, что при для всех

Таким образом, задача состоит в следующем: определить совокупность значений при которых достигается минимум функционала

(28)

где - ступенчатая разрывная функция (27) при условиях

, , , (29)

(30)

(31)

При получаем задачу 1.

4. Задачи размещения с ограничениями на суммарную продукцию.

 

В этой задаче предполагается, что суммарный объем продукции, выпускаемой всеми предприятиями, задан и равен , объемы перевозок от предприятий до потребителей ограничены сверху величинами , каждый потребитель должен получить продукцию в объеме, не меньшем . Остальные условия задачи 1 сохраняются.

Тогда рассматриваемая задача принимает следующий вид: определить совокупность значений , при которых достигается минимум функционала

 

(32)

при условиях

 

, , , (33)

(34)

(35)

 

(36)

 

Будем считать, что

,

Рассмотрим вначале задачу (32) -(36). Наиболее интересен случай,

когда


Все остальные предположения о расположении величины d относительно интервала либо делают задачу несовместной, либо позволяют освободиться от условия (4.53).

Действительно, если

, то ;

 

при условия (33), (34), (36) несовместны; при условие (36) можно исключить, заменив условия (34) на

при условия (33), (34), (36) несовместны; при условие (36) можно исключить, заменив условия (35) на

Для любого определение сводится к решению задачи (32)-(36), где везде вместо I пишется . Если d для какого-либо выйдет из интервала , то, как показано выше, либо условия (33)-(36) становятся несовместными (в этом случае полагаем ), либо освобождаемся от условия (4.53) и определение сводится к решению транспортной задачи типа 1.

 

Производственно-распределительные задачи оптимального размещения предприятий и применимость метода последовательных расчетов.

 

5. Производственно-распределительная задача размещения предприятий с ограниченными объемами производства и пропускными способностями коммуникаций.

 

Рассматривается задача нахождения наименьшего значения функционала

(37)

при условиях

 

(38)

(39)