Сравнение эффективности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод простой итерации
Курсовой проект - Компьютеры, программирование
Другие курсовые по предмету Компьютеры, программирование
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ
УЧРЕЖДЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ
"БАРАНОВИЧСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ"
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине Основы алгоритмизации и программирования
Тема: "Сравнение эффективности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод простой итерации"
Исполнитель:
студент 1 курса группы ИСТ-11
Сенько Дарья Ивановна
Руководитель:
Климко Елена Викторовна
Барановичи 2010
РЕФЕРАТ
Курсовая работа: 17 с., 7 иллюстр., 4 источника.
Решение нелинейных уравнений.
Объектом и предметом исследования является методы решения нелинейных уравнений.
Цель работы - разработка программы, которая будет решать СЛАУ двумя способами: методом Крамера и методом простой итерации.
При выполнении работы использованы методы: изучение литературы, разработка и отладка программы на компьютере.
Областью возможного практического применения являются научно-исследовательская работа.
Автор подтверждает, что приведенный в работе расчетно-аналитический материал правильно и объективно отражает состояние исследуемого процесса, а все заимствованные из литературных и других источников теоретические, методологические и методические положения и концепции сопровождаются ссылками на их авторов.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
.1 Постановки задачи
.2 Метод простой итерации решения СЛАУ
.3 Метод Крамера
.4 Алгоритм решения
.5 Алгоритм решения (блок-схема)
. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
.1 Реализация алгоритма решения
.2 Результат выполнения программы
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Цель проекта: сравнить эффективность методов решения нелинейных уравнений, написав для этого программу.
Система линейных алгебраических уравнений имеет вид:
Мы будем рассматривать только совместные определенные системы, т.е. системы, имеющие единственное решение. Это ограничение приводит к тому, что число уравнений системы должно равняться числу неизвестных.
Используемые в наше время методы решения СЛАУ разбивают на 2 группы:
. Точные методы - это методы, в которых вычисления ведутся без округлений и приводят к точным значениям неизвестных. Но так как на практике используемые данные имеют некоторую ограниченную точность, то используемые точные методы решения неизбежно будут содержать погрешности. К точным методам относится метод Гаусса решения СЛАУ.
. Приближённые методы - это методы, которые даже при вычислении без округлений позволяют получить решение системы лишь с какой-то заданной точностью. Точное решение системы в этом случае может быть получено теоретически, как результат бесконечного процесса. К приближённым методам решения СЛАУ относят методы простой итерации, метод Зейделя и другие.
Наиболее эффективно программируемым на ЭВМ являются метод Гаусса с выбором главного элемента в матрице и метод Зейделя. Если при экспериментальных исследованиях получаются приближенные значения коэффициентов СЛАУ, то сначала решают методом Гаусса с выбором главного элемента, а затем уточняют решение методом Зейделя.
1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
.1 Постановка задачи
Целью данной курсовой работы является: сравнение эффективности различных методов решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Крамера и метод простой итерации.
Программа должна соответствовать следующим требованиям:
-быть доступной для любого уровня подготовки пользователя, использующего данную программу;
-соответствовать современному уровню программирования;
1.2 Метод простой итерации решения СЛАУ
Для использования этого метода систему, имеющую вид:
нужно привести к следующему виду (называемому нормальным):
(*)
Затем в полученную систему подставляют начальное приближение решения, т.е. некоторый набор значений и вычисляют следующее приближение решения - набор значений . Полученный набор значений снова подставляют в систему (*) для вычисления следующего приближения и т.д. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута необходимая точность решения. Данный метод сходится при выполнении одного из следующих условий:
(**)
Т.е. метод простой итерации решения СЛАУ сходится, если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных системы (*) взятых по строкам меньше единицы либо если максимальная из сумм модулей коэффициентов при неизвестных системы (*) взятых по столбцам меньше единицы, либо если сумма квадратов всех коэффициентов при неизвестных в правой части системы (*) меньше единицы. Каждое из этих условий является достаточным для сходимости метода, но не необходимым. Это означает, что метод сходится при выполнении хотя бы одного из этих условий, но он так же может сходиться и тогда, когда ни одно из них не выполняется. В данном случае руководствуются эмпирическим правилом: если в ходе итераций некоторая десятичная цифра повторилась 3 и более раз - её можно считать верной.
Во всех остальных случаях (когда выполняется одно из условий (**)) степень приближения к точному решению оценивается по формуле:
,(***)
&